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Ponto racional

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Na teoria dos números e na geometria algébrica, um ponto racional de uma variedade algébrica é um ponto cujas coordenadas pertencem a um dado corpo. Se o corpo não for mencionado, subentende-se geralmente o corpo dos números racionais. Se o corpo for o corpo dos números reais, um ponto racional é mais comumente chamado de ponto real.

A compreensão de pontos racionais é um objetivo central da teoria dos números e da geometria diofantina. Por exemplo, o Último Teorema de Fermat pode ser reformulado como: para $n>2$ , a curva de Fermat de equação $x^{n}+y^{n}=1$ não possui outros pontos racionais que não sejam $(1,0)$ , $(0,1)$ , e, se $n$ for par, $(-1,0)$ e $(0,-1)$ .

Definição

Dado um corpo $k$ e uma extensão algebricamente fechada $K$ de $k$ , uma variedade afim $X$ sobre $k$ é o conjunto de zeros comuns em $K^{n}$ de uma coleção de polinômios com coeficientes em $k$ : ${\begin{aligned}f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=0,\\&\vdots \\f_{r}(x_{1},\dots ,x_{n})&=0.\end{aligned}}$ Esses zeros comuns são chamados de pontos de $X$ .

Um ponto $k$ -racional (ou $k$ -ponto) de $X$ é um ponto de $X$ que pertence a $k^{n}$ , ou seja, uma sequência $(a_{1},\dots ,a_{n})$ de $n$ elementos de $k$ tal que $f_{j}(a_{1},\dots ,a_{n})=0$ para todo $j$ . O conjunto de pontos $k$ -racionais de $X$ é frequentemente denotado como $X(k)$ .

Por vezes, quando o corpo $k$ está subentendido, ou quando $k$ é o corpo $\mathbb {Q}$ dos números racionais, diz-se "ponto racional" em vez de "ponto $k$ -racional".

Por exemplo, os pontos racionais do círculo unitário de equação $x^{2}+y^{2}=1$ são os pares de números racionais $\left({\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\right),$ onde $(a,b,c)$ é um trio pitagórico.

O conceito também faz sentido em contextos mais gerais. Uma variedade projetiva $X$ no espaço projetivo $\mathbb {P} ^{n}$ sobre um corpo $k$ pode ser definida por uma coleção de equações polinomiais homogêneas em variáveis $x_{0},\dots ,x_{n}$ . Um $k$ -ponto de $\mathbb {P} ^{n}$ , escrito $[a_{0},\dots ,a_{n}]$ , é dado por uma sequência de $n+1$ elementos de $k$ , não todos zero, com o entendimento de que multiplicar todos os $a_{0},\dots ,a_{n}$ pelo mesmo elemento não nulo de $k$ dá o mesmo ponto no espaço projetivo. Assim, um $k$ -ponto de $X$ significa um $k$ -ponto de $\mathbb {P} ^{n}$ no qual os polinômios dados se anulam.

De forma mais geral, seja $X$ um esquema sobre um corpo $k$ . Isso significa que um morfismo de esquemas para o espectro do anel $f:X\to \operatorname {Spec} (k)$ é dado. Então um $k$ -ponto de $X$ significa uma seção deste morfismo, isto é, um morfismo $a:\operatorname {Spec} (k)\to X$ tal que a composição $f\circ a$ é a identidade em $\operatorname {Spec} (k)$ . Isto concorda com as definições anteriores quando $X$ é uma variedade afim ou projetiva (vista como um esquema sobre $k$ ).

Quando $X$ é uma variedade sobre um corpo algebricamente fechado $k$ , grande parte da estrutura de $X$ é determinada pelo seu conjunto $X(k)$ de pontos $k$ -racionais. Contudo, para um corpo geral $k$ , o conjunto $X(k)$ fornece apenas informação parcial sobre $X$ . Em particular, para uma variedade $X$ sobre um corpo $k$ e qualquer extensão de corpos $E$ de $k$ , $X$ também determina o conjunto $X(E)$ de pontos $E$ -racionais de $X$ , significando o conjunto de soluções das equações que definem $X$ com valores em $E$ .

Exemplo: Seja $X$ a curva cônica $x^{2}+y^{2}=-1$ no plano afim $\mathbb {A} ^{2}$ sobre os números reais $\mathbb {R}$ . Então o conjunto de pontos reais $X(\mathbb {R} )$ é vazio, porque o quadrado de qualquer número real é não negativo. Por outro lado, na terminologia da geometria algébrica, a variedade algébrica $X$ sobre $\mathbb {R}$ não é vazia, porque o conjunto de pontos complexos $X(\mathbb {C} )$ não é vazio.

Mais geralmente, para um esquema $X$ sobre um anel comutativo $R$ e qualquer $R$ -álgebra comutativa $S$ , o conjunto $X(S)$ de $S$ -pontos de $X$ significa o conjunto de morfismos $\operatorname {Spec} (S)\to X$ sobre $\operatorname {Spec} (R)$ . O esquema $X$ é determinado a menos de isomorfismo pelo funtor $S\mapsto X(S)$ ; esta é a filosofia de identificar um esquema com o seu funtor de pontos. Outra formulação é que o esquema $X$ sobre $R$ determina um esquema $X_{S}$ sobre $S$ por mudança de base, e os $S$ -pontos de $X$ (sobre $R$ ) podem ser identificados com os $S$ -pontos de $X_{S}$ (sobre $S$ ).

A teoria das equações diofantinas significava tradicionalmente o estudo de pontos integrais, ou seja, soluções de equações polinomiais nos inteiros $\mathbb {Z}$ em vez de nos racionais $\mathbb {Q}$ . Para equações polinomiais homogêneas tais como $x^{3}+y^{3}=z^{3}$ , os dois problemas são essencialmente equivalentes, uma vez que todo ponto racional pode ser redimensionado (escalado) para se tornar um ponto integral.

Pontos racionais em curvas

Grande parte da teoria dos números pode ser vista como o estudo de pontos racionais de variedades algébricas, sendo um cenário conveniente o das variedades projetivas suaves. Para curvas algébricas projetivas suaves, o comportamento dos pontos racionais depende fortemente do gênero da curva.

Gênero 0

Toda curva projetiva suave $X$ de gênero zero sobre um corpo $k$ é isomorfa a uma curva cônica (grau 2) em $\mathbb {P} ^{2}$ . Se $X$ tem um ponto $k$ -racional, então ela é isomorfa a $\mathbb {P} ^{1}$ sobre $k$ , e assim os seus pontos $k$ -racionais são completamente compreendidos.^[1] Se $k$ é o corpo $\mathbb {Q}$ de números racionais (ou, mais geralmente, um corpo de números), existe um algoritmo para determinar se uma dada cônica tem um ponto racional, baseado no Princípio de Hasse: uma cônica sobre $\mathbb {Q}$ tem um ponto racional se e somente se ela tiver um ponto sobre todos os completamentos de $\mathbb {Q}$ , ou seja, sobre $\mathbb {R}$ e todos os corpos p-ádicos $\mathbb {Q} _{p}$ .

Gênero 1

É mais difícil determinar se uma curva de gênero 1 possui um ponto racional. O princípio de Hasse falha neste caso: por exemplo, de acordo com Ernst Selmer, a curva cúbica $3x^{3}+4y^{3}+5z^{3}=0$ em $\mathbb {P} ^{2}$ tem um ponto sobre todos os completamentos de $\mathbb {Q}$ , mas nenhum ponto racional.^[2] A falha do princípio de Hasse para curvas de gênero 1 é medida pelo grupo de Tate-Shafarevich.

Se $X$ é uma curva de gênero 1 com um ponto $k$ -racional $p_{0}$ , então $X$ é chamada de uma curva elíptica sobre $k$ . Neste caso, $X$ tem a estrutura de um grupo algébrico comutativo (com $p_{0}$ como o elemento nulo), e assim o conjunto $X(k)$ de pontos $k$ -racionais é um grupo abeliano. O teorema de Mordell-Weil diz que, para uma curva elíptica (ou, mais geralmente, uma variedade abeliana) $X$ sobre um corpo de números $k$ , o grupo abeliano $X(k)$ é finitamente gerado. Programas de álgebra computacional conseguem determinar o grupo de Mordell-Weil $X(k)$ em muitos exemplos, mas não se sabe se existe um algoritmo que sempre tenha sucesso em calcular este grupo. Isso decorreria da conjectura de que o grupo de Tate-Shafarevich é finito, ou da relacionada conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer.^[3]

Gênero pelo menos 2

O teorema de Faltings (anteriormente a conjectura de Mordell) diz que para qualquer curva $X$ de gênero pelo menos 2 sobre um corpo de números $k$ , o conjunto $X(k)$ é finito.^[4]

Alguns dos grandes feitos da teoria dos números resumem-se à determinação dos pontos racionais em curvas específicas. Por exemplo, o Último Teorema de Fermat (provado por Richard Taylor e Andrew Wiles) é equivalente à afirmação de que, para um inteiro $n$ pelo menos igual a 3, os únicos pontos racionais da curva $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ em $\mathbb {P} ^{2}$ sobre $\mathbb {Q}$ são os óbvios: $[0,1,1]$ e $[1,0,1]$ ; $[0,1,-1]$ e $[1,0,-1]$ para $n$ par; e $[1,-1,0]$ para $n$ ímpar. A curva $X$ (como qualquer curva suave de grau $n$ em $\mathbb {P} ^{2}$ ) tem gênero ${\frac {(n-1)(n-2)}{2}}$ .

Não se sabe se existe um algoritmo para encontrar todos os pontos racionais numa curva arbitrária de gênero pelo menos 2 sobre um corpo de números. Existe um algoritmo que funciona em alguns casos. A sua terminação em geral resultaria das conjecturas de que o grupo de Tate-Shafarevich de uma variedade abeliana sobre um corpo de números é finito e que a obstrução de Brauer-Manin é a única obstrução ao princípio de Hasse, no caso das curvas.^[5]

Dimensões superiores

Variedades com poucos pontos racionais

Em dimensões superiores, um objetivo unificador é a conjectura de Bombieri–Lang, a qual afirma que, para qualquer variedade $X$ de tipo geral sobre um corpo de números $k$ , o conjunto de pontos $k$ -racionais de $X$ não é denso de Zariski em $X$ . (Isto é, os pontos $k$ -racionais estão contidos numa união finita de subvariedades de menor dimensão de $X$ .) Na dimensão 1, isto é exatamente o teorema de Faltings, uma vez que uma curva é do tipo geral se e somente se o seu gênero for de pelo menos 2. Lang também elaborou conjecturas mais finas relacionando a finitude de pontos racionais com a hiperbolicidade de Kobayashi.^[6]

Por exemplo, a conjectura de Bombieri-Lang prevê que uma hipersuperfície suave de grau $d$ no espaço projetivo $\mathbb {P} ^{n}$ sobre um corpo de números não tem pontos racionais Zariski densos se $d\geq n+2$ . Não se sabe muito acerca deste caso. O resultado mais forte conhecido sobre a conjectura de Bombieri-Lang é o teorema de Faltings sobre subvariedades de variedades abelianas (generalizando o caso de curvas). Ou seja, se $X$ é uma subvariedade de uma variedade abeliana $A$ sobre um corpo de números $k$ , então todos os pontos $k$ -racionais de $X$ estão contidos numa união finita de translações de subvariedades abelianas contidas em $X$ .^[7] (Logo, se $X$ não contiver nenhuma subvariedade abeliana transladada de dimensão positiva, então $X(k)$ é finito.)

Variedades com muitos pontos racionais

Na direção oposta, diz-se que uma variedade $X$ sobre um corpo de números $k$ tem pontos racionais potencialmente densos se houver uma extensão de corpo finita $E$ de $k$ tal que os pontos $E$ -racionais de $X$ sejam Zariski densos em $X$ . Frédéric Campana conjecturou que uma variedade é potencialmente densa se e somente se ela não tiver fibração racional sobre um orbifold de dimensão positiva do tipo geral.^[8] Um caso conhecido é que toda superfície cúbica em $\mathbb {P} ^{3}$ sobre um corpo de números $k$ possui pontos racionais potencialmente densos, porque (de forma mais forte) ela se torna racional sobre alguma extensão finita de $k$ (a não ser que seja o cone sobre uma curva cúbica plana). A conjectura de Campana também implicaria que uma superfície K3 $X$ (como uma superfície quártica suave em $\mathbb {P} ^{3}$ ) sobre um corpo de números tem pontos racionais potencialmente densos. Isto é conhecido apenas em casos especiais, por exemplo, se $X$ tem uma fibração elíptica.^[9]

Pode-se perguntar quando é que uma variedade tem um ponto racional sem estender o corpo de base. No caso de uma hipersuperfície $X$ de grau $d$ em $\mathbb {P} ^{n}$ sobre um corpo de números, existem bons resultados quando $d$ é muito menor que $n$ , muitas vezes baseados no método do círculo de Hardy-Littlewood. Por exemplo, o teorema de Hasse-Minkowski diz que o princípio de Hasse é válido para hipersuperfícies quárticas sobre um corpo de números (o caso $d=2$ ). Christopher Hooley provou o princípio de Hasse para hipersuperfícies cúbicas suaves em $\mathbb {P} ^{n}$ sobre $\mathbb {Q}$ quando $n\geq 8$ .^[10] Em dimensões superiores, aplica-se ainda mais: toda cúbica suave em $\mathbb {P} ^{n}$ sobre $\mathbb {Q}$ tem um ponto racional quando $n\geq 9$ , conforme demonstrado por Roger Heath-Brown.^[11] Mais geralmente, o teorema de Birch afirma que, para qualquer número inteiro positivo ímpar $d$ , existe um número inteiro $N$ tal que, para todo $n\geq N$ , toda hipersuperfície de grau $d$ em $\mathbb {P} ^{n}$ sobre $\mathbb {Q}$ tem um ponto racional.

Para hipersuperfícies de dimensão menor (em termos do seu grau), a situação pode ser mais complicada. Por exemplo, o princípio de Hasse falha para a superfície cúbica suave $5x^{3}+9y^{3}+10z^{3}+12w^{3}=0$ em $\mathbb {P} ^{3}$ sobre $\mathbb {Q}$ , como demonstrado por Ian Cassels e Richard Guy.^[12] Jean-Louis Colliot-Thélène conjecturou que a obstrução de Brauer-Manin é a única obstrução ao princípio de Hasse para superfícies cúbicas. De modo mais geral, isso deveria ser válido para toda variedade racionalmente conexa sobre um corpo de números.^[13]

Nalguns casos, sabe-se que $X$ tem "muitos" pontos racionais sempre que tem um. Por exemplo, ampliando o trabalho de Beniamino Segre e Yuri Manin, János Kollár demonstrou que: para uma hipersuperfície cúbica $X$ de dimensão de pelo menos 2 sobre um corpo perfeito $k$ com $X$ não sendo um cone, $X$ é unirracional sobre $k$ se tiver um ponto $k$ -racional.^[14] (Em particular, para $k$ infinito, a unirracionalidade implica que o conjunto de pontos $k$ -racionais é Zariski denso em $X$ .) A conjectura de Manin é uma afirmação mais precisa que descreveria a assintótica do número de pontos racionais de altura limitada sobre uma variedade de Fano.

Contagem de pontos sobre corpos finitos

Uma variedade $X$ sobre um corpo finito $k$ tem apenas um número finito de pontos $k$ -racionais. As conjecturas de Weil, provadas por André Weil na dimensão 1 e por Pierre Deligne em qualquer dimensão, dão fortes estimativas para o número de $k$ -pontos em termos dos números de Betti (na cohomologia étale) de $X$ . Por exemplo, se $X$ for uma curva projetiva suave de gênero $g$ sobre um corpo $k$ de ordem $q$ (uma potência de primo), então ${\big |}|X(k)|-(q+1){\big |}\leq 2g{\sqrt {q}}.$ Para uma hipersuperfície suave $X$ de grau $d$ em $\mathbb {P} ^{n}$ sobre um corpo $k$ de ordem $q$ , o teorema de Deligne fornece a cota:^[15] ${\big |}|X(k)|-(q^{n-1}+\cdots +q+1){\big |}\leq {\bigg (}{\frac {(d-1)^{n+1}+(-1)^{n+1}(d-1)}{d}}{\bigg )}q^{(n-1)/2}.$

Há também resultados significativos sobre quando uma variedade projetiva sobre um corpo finito $k$ tem pelo menos um ponto $k$ -racional. Por exemplo, o teorema de Chevalley-Warning implica que qualquer hipersuperfície $X$ de grau $d$ em $\mathbb {P} ^{n}$ sobre um corpo finito $k$ possui um ponto $k$ -racional se $d\leq n$ . Para um $X$ suave, isso também decorre do teorema de Hélène Esnault o qual estabelece que toda variedade projetiva suave racionalmente conexa por cadeia (rationally chain connected), por exemplo, toda variedade de Fano, sobre um corpo finito $k$ , possui um ponto $k$ -racional.^[16]

Ver também

Referências

↑ Hindry & Silverman (2000), Teorema A.4.3.1.
↑ Silverman (2009), Observação X.4.11.
↑ Silverman (2009), Conjectura X.4.13.
↑ Hindry & Silverman (2000), Teorema E.0.1.
↑ Skorobogatov (2001), seção 6,3.
↑ Hindry & Silverman (2000), seção F.5.2.
↑ Hindry & Silverman (2000), Teorema F.1.1.1.
↑ Campana (2004), Conjectura 9.20.
↑ Hassett (2003), Teorema 6.4.
↑ Hooley (1988), Teorema.
↑ Heath-Brown (1983), Teorema.
↑ Colliot-Thélène, Kanevsky & Sansuc (1987), seção 7.
↑ Colliot-Thélène (2015), seção 6.1.
↑ Kollár (2002), Teorema 1.1.
↑ Katz (1980), seção II.
↑ Esnault (2003), Corolário 1.3.

Bibliografia

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Esnault, Hélène (2003), «Varieties over a finite field with trivial Chow group of 0-cycles have a rational point», Inventiones Mathematicae, 151 (1): 187–191, Bibcode:2003InMat.151..187E, MR 1943746, arXiv:math/0207022, doi:10.1007/s00222-002-0261-8
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Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), Diophantine Geometry: an Introduction, ISBN 978-0-387-98981-5, Springer Nature, MR 1745599
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Silverman, Joseph H. (2009) [1986], The Arithmetic of Elliptic Curves, ISBN 978-0-387-96203-0 2nd ed. , Springer Nature, MR 2514094
Skorobogatov, Alexei (2001), Torsors and Rational Points, ISBN 978-0-521-80237-6, Cambridge University Press, MR 1845760

Ligações externas

Colliot-Thélène, Jean-Louis (2015), Local-global principles for rational points and zero-cycles (PDF)

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