Em teoria dos números, dado um número primo p,^[a] os números p-ádicos formam uma extensão dos números racionais que é distinta dos números reais, embora com algumas propriedades semelhantes; números p-ádicos podem ser escritos em uma forma semelhante a decimais (possivelmente infinitos), mas com dígitos baseados em um número primo p em vez de dez, e estendendo-se para a esquerda em vez de para a direita.

Por exemplo, comparando a expansão do número racional ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$ na base 3 com a expansão 3-ádica,$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\tfrac {1}{5}}&{}=0.{\overline {0121}}\ ({\text{base }}3)&&{}=0\cdot 3^{0}+0\cdot 3^{-1}+1\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}+\cdots \\[5mu]{\tfrac {1}{5}}&{}={\overline {1210}}2\ \ ({\text{3-ádica}})&&{}=\cdots +2\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}.\end{alignedat}}}$$

Formalmente, dado um número primo p, um número p-ádico pode ser definido como uma série$${\displaystyle s=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{k}p^{k}+a_{k+1}p^{k+1}+a_{k+2}p^{k+2}+\cdots }$$onde k é um inteiro (possivelmente negativo), e cada ${\displaystyle a_{i}}$ é um inteiro tal que ${\displaystyle 0\leq a_{i}<p.}$ Um inteiro p-ádico é um número p-ádico tal que ${\displaystyle k\geq 0.}$

Em geral, a série que representa um número p-ádico não é convergente no sentido usual, mas é convergente para o valor absoluto p-ádico ${\displaystyle |s|_{p}=p^{-k},}$ onde k é o menor inteiro i tal que ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$ (se todos os ${\displaystyle a_{i}}$ são zero, tem-se o número p-ádico zero, que tem 0 como seu valor absoluto p-ádico).

Todo número racional pode ser expresso de forma única como a soma de uma série como acima, com respeito ao valor absoluto p-ádico. Isso permite considerar os números racionais como números p-ádicos especiais, e alternativamente definir os números p-ádicos como o completamento dos números racionais para o valor absoluto p-ádico, exatamente como os números reais são o completamento dos números racionais para o valor absoluto usual.

Os números p-ádicos foram descritos pela primeira vez por Kurt Hensel em 1897,^[1] embora, em retrospecto, alguns dos trabalhos anteriores de Ernst Kummer possam ser interpretados como usando implicitamente números p-ádicos.^[b]

Motivação

Grosso modo, a aritmética modular módulo um inteiro positivo n consiste em "aproximar" todo inteiro pelo resto de sua divisão por n, chamado de seu resíduo módulo n. A principal propriedade da aritmética modular é que o resíduo módulo n do resultado de uma sucessão de operações sobre inteiros é o mesmo que o resultado da mesma sucessão de operações sobre resíduos módulo n.

Ao estudar equações diofantinas, às vezes é útil reduzir a equação módulo um primo p, pois isso geralmente fornece mais informações sobre a própria equação. Infelizmente, fazer isso perde algumas informações porque a redução ${\displaystyle \mathbb {Z} \twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p}$ não é injetiva.

Uma maneira de preservar mais informações é usar módulos maiores, como potências primas superiores, p², p³, .... No entanto, isso tem a desvantagem de ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{e}}$ não ser um corpo, o que perde muitas das propriedades algébricas que ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ tem.^[3]

Kurt Hensel descobriu um método que consiste em usar um módulo primo p e aplicar o lema de Hensel para levantar soluções módulo p para módulo p², p³, .... Este processo cria uma sequência infinita de resíduos, e um número p-ádico é definido como o "limite" de tal sequência.

Essencialmente, os números p-ádicos permitem "tomar módulo p^e para todos os e de uma vez". Uma característica distintiva dos números p-ádicos da aritmética modular comum é que o conjunto dos números p-ádicos ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ forma um corpo, tornando possível a divisão por p (ao contrário de quando se trabalha módulo p^e). Além disso, o mapeamento ${\displaystyle \mathbb {Z} \hookrightarrow \mathbb {Z} _{p}}$ é injetivo, portanto não se perde muita informação ao reduzir para números p-ádicos.^[3]

Descrição informal

Existem várias maneiras de entender os números p-ádicos.

Definição

Existem várias definições equivalentes de números p-ádicos. As duas abordagens fornecidas abaixo são relativamente elementares.

Notação

Existem várias convenções diferentes para escrever expansões p-ádicas. Até agora, este artigo usou uma notação para expansões p-ádicas em que as potências de p aumentam da direita para a esquerda. Com esta notação da direita para a esquerda, a expansão 3-ádica de ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}},}$ por exemplo, é escrita como$${\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots 121012102_{3}.}$$

Ao realizar aritmética nesta notação, os dígitos são carregados para a esquerda. Também é possível escrever expansões p-ádicas de modo que as potências de p aumentem da esquerda para a direita, e os dígitos sejam carregados para a direita. Com esta notação da esquerda para a direita, a expansão 3-ádica de ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$ é $${\displaystyle {\frac {1}{5}}=2.01210121\dots _{3}{\mbox{ ou }}{\frac {1}{15}}=20.1210121\dots _{3}.}$$

Expansões p-ádicas podem ser escritas com outros conjuntos de dígitos em vez de {0, 1, ..., p − 1}. Por exemplo, a expansão 3-ádica de ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$ pode ser escrita usando dígitos ternários balanceados {1, 0, 1}, com 1 representando menos um, como$${\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots {\underline {1}}11{\underline {11}}11{\underline {11}}11{\underline {1}}_{\text{3}}.}$$

Na verdade, qualquer conjunto de p inteiros que estão em classes de resíduos distintas módulo p pode ser usado como dígitos p-ádicos. Em teoria dos números, os representantes de Teichmüller são às vezes usados como dígitos.^[8]

A notação de citação é uma variante da representação p-ádica de números racionais que foi proposta em 1979 por Eric Hehner e Nigel Horspool para implementar em computadores a aritmética (exata) com esses números.^[9] Pode ser usada como uma forma compacta de representar números racionais, que têm uma sequência periódica infinita de dígitos. Nesta notação, uma aspa (') é usada para separar a parte repetitiva da parte não repetitiva. $${\displaystyle {\frac {1}{5}}=1210\,'2_{3}}$$

Expansão p-ádica de números racionais

A expansão decimal de um número racional positivo ${\displaystyle r}$ é sua representação como uma série$${\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}10^{-i},}$$onde ${\displaystyle k}$ é um inteiro e cada ${\displaystyle a_{i}}$ é também um inteiro tal que ${\displaystyle 0\leq a_{i}<10.}$ Esta expansão pode ser calculada por divisão longa do numerador pelo denominador, que é baseada no seguinte teorema: Se ${\displaystyle r={\tfrac {n}{d}}}$ é um número racional tal que ${\displaystyle 0\leq r<1,}$ existe um inteiro ${\displaystyle a}$ tal que ${\displaystyle 0\leq a<10,}$ e ${\displaystyle 10r=a+r',}$ com ${\displaystyle 0\leq r'<1.}$ A expansão decimal é obtida aplicando repetidamente este resultado ao resto ${\displaystyle r'}$ que na iteração assume o papel do número racional original ${\displaystyle r}$.

A expansão p-ádica de um número racional pode ser calculada de forma semelhante, mas com uma etapa de divisão diferente. Suponha que ${\displaystyle r={\tfrac {n}{d}}}$ seja um número racional com valoração não negativa (isto é, d não é divisível por p). A etapa de divisão consiste em escrever$${\displaystyle r=a+p\,r'}$$onde ${\displaystyle a}$ é um inteiro tal que ${\displaystyle 0\leq a<p,}$ e ${\displaystyle r'}$ tem valoração não negativa.

O inteiro a pode ser calculado como um inverso multiplicativo modular: ${\displaystyle a=nd^{-1}\operatorname {mod} p}$. Por causa disso, escrever r desta forma é sempre possível, e tal representação é única.

A expansão p-ádica de um número racional é eventualmente periódica. Reciprocamente, uma série ${\textstyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i},}$ com ${\displaystyle 0\leq a_{i}<p}$ converge (para o valor absoluto p-ádico) para um número racional se e somente se é eventualmente periódica; neste caso, a série é a expansão p-ádica desse número racional. A prova é semelhante à do resultado análogo para decimais repetidos.

Inteiros p-ádicos

Os inteiros p-ádicos são os números p-ádicos com uma valoração não negativa.

Um inteiro ${\displaystyle p}$-ádico pode ser representado como uma sequência $${\displaystyle x=(x_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )}$$ de resíduos ${\displaystyle x_{e}}$ mod ${\displaystyle p^{e}}$ para cada inteiro ${\displaystyle e}$, satisfazendo as relações de compatibilidade ${\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})}$ para ${\displaystyle i<j}$.

Todo inteiro é um inteiro ${\displaystyle p}$-ádico (incluindo zero, pois ${\displaystyle 0<\infty }$). Os números racionais da forma ${\textstyle {\tfrac {n}{d}}p^{k}}$ com ${\displaystyle d}$ coprimo com ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle k\geq 0}$ também são inteiros ${\displaystyle p}$-ádicos (pelo fato de que ${\displaystyle d}$ tem um inverso mod ${\displaystyle p^{e}}$ para todo ${\displaystyle e}$).

Os inteiros p-ádicos formam um anel comutativo, denotado ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ou ${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}$, que tem as seguintes propriedades.

• É um domínio de integridade, pois é um subanel de um corpo, ou porque o primeiro termo da representação em série do produto de duas séries p-ádicas não nulas é o produto de seus primeiros termos.
• As unidades (elementos invertíveis) de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ são os números p-ádicos de valoração zero.
• É um domínio de ideais principais, tal que cada ideal é gerado por uma potência de p.
• É um anel local de dimensão de Krull um, pois seus únicos ideais primos são o ideal zero e o ideal gerado por p, o único ideal maximal.
• É um anel de valoração discreta, pois isso resulta das propriedades anteriores.
• É o completamento do anel local ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}={\bigl \{}{\tfrac {n}{d}}\mathbin {\big |} n,d\in \mathbb {Z} ,\,d\not \in p\mathbb {Z} {\bigr \}},}$ que é a localização de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ no ideal primo ${\displaystyle p\mathbb {Z} .}$

A última propriedade fornece uma definição dos números p-ádicos que é equivalente à anterior: o corpo dos números p-ádicos é o corpo de frações do completamento da localização dos inteiros no ideal primo gerado por p.

Propriedades topológicas

A valoração p-ádica permite definir um valor absoluto em números p-ádicos: o valor absoluto p-ádico de um número p-ádico não nulo x é $${\displaystyle |x|_{p}=p^{-v_{p}(x)},}$$ onde ${\displaystyle v_{p}(x)}$ é a valoração p-ádica de x. O valor absoluto p-ádico de ${\displaystyle 0}$ é ${\displaystyle |0|_{p}=0.}$ Este é um valor absoluto que satisfaz a desigualdade triangular forte pois, para todo x e y:

• ${\displaystyle |x|_{p}=0}$ se e somente se ${\displaystyle x=0;}$
• ${\displaystyle |x|_{p}\cdot |y|_{p}=|xy|_{p};}$
• ${\displaystyle |x+y|_{p}\leq \max\{|x|_{p},|y|_{p}\}\leq |x|_{p}+|y|_{p}.}$

Além disso, se ${\displaystyle |x|_{p}\neq |y|_{p},}$ então ${\displaystyle |x+y|_{p}=\max {\bigl (}|x|_{p},|y|_{p}{\bigr )}.}$

Isso torna os números p-ádicos um espaço métrico, e até mesmo um espaço ultramétrico, com a distância p-ádica definida por ${\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}.}$

Como espaço métrico, os números p-ádicos formam o completamento dos números racionais equipados com o valor absoluto p-ádico. Isso fornece outra maneira de definir os números p-ádicos.

Como a métrica é definida a partir de uma valoração discreta, toda bola aberta também é fechada. Mais precisamente, a bola aberta ${\displaystyle B_{r}(x)=\{y\mid d_{p}(x,y)<r\}}$ é igual à bola fechada ${\displaystyle \textstyle B_{p^{-v}}[x]=\{y\mid d_{p}(x,y)\leq p^{-v}\},}$ onde v é o menor inteiro tal que ${\displaystyle \textstyle p^{-v}<r.}$ Similarmente, ${\displaystyle \textstyle B_{r}[x]=B_{p^{-w}}(x),}$ onde w é o maior inteiro tal que ${\displaystyle \textstyle p^{-w}>r.}$

Isso implica que os números p-ádicos ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ formam um espaço localmente compacto (corpo localmente compacto), e os inteiros p-ádicos ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$—isto é, a bola ${\displaystyle B_{1}[0]=B_{p}(0)}$—formam um espaço compacto.^[10]

O espaço dos inteiros 2-ádicos ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ é homeomorfo ao conjunto de Cantor ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.^[11][12] Isso pode ser visto considerando o mapeamento contínuo injetor ${\displaystyle \psi$ :\mathbb {Z} _{2}\to {\mathcal {C}}} definido por $${\displaystyle \psi$$ :~a_{0}+a_{1}2+a_{2}2^{2}+a_{3}2^{3}+\cdots ~\longmapsto ~{\frac {2a_{0}}{3}}+{\frac {2a_{1}}{3^{2}}}+{\frac {2a_{2}}{3^{3}}}+{\frac {2a_{3}}{3^{4}}}+\cdots } Além disso, para qualquer p, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ é homeomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ e, portanto, também homeomorfo ao conjunto de Cantor.^[13]

O dual de Pontryagin do grupo dos inteiros p-ádicos é o grupo de Prüfer p ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$, e o dual de Pontryagin do grupo de Prüfer p é o grupo dos inteiros p-ádicos.^[14]

Propriedades modulares

O anel quociente ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$ pode ser identificado com o anel ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ dos inteiros módulo ${\displaystyle p^{n}.}$ Isso pode ser mostrado observando que todo inteiro p-ádico, representado por sua série p-ádica normalizada, é congruente módulo ${\displaystyle p^{n}}$ com sua soma parcial ${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}p^{i},}$ cujo valor é um inteiro no intervalo ${\displaystyle [0,p^{n}-1].}$ Uma verificação direta mostra que isso define um isomorfismo de anéis de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$ para ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$

O limite inverso dos anéis ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$ é definido como o anel formado pelas sequências ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$ tais que ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} }$ e ${\textstyle a_{i}\equiv a_{i+1}{\pmod {p^{i}}}}$ para todo i.

O mapeamento que associa uma série p-ádica normalizada à sequência de suas somas parciais é um isomorfismo de anéis de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ para o limite inverso dos ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}.}$ Isso fornece outra maneira de definir inteiros p-ádicos (a menos de um isomorfismo).

Esta definição de inteiros p-ádicos é especialmente útil para cálculos práticos, pois permite construir inteiros p-ádicos por aproximações sucessivas.

Por exemplo, para calcular o inverso p-ádico (multiplicativo) de um inteiro, pode-se usar o método de Newton, começando pelo inverso módulo p; então, cada passo de Newton calcula o inverso módulo ${\textstyle p^{n^{2}}}$ a partir do inverso módulo ${\textstyle p^{n}.}$

O mesmo método pode ser usado para calcular a raiz quadrada p-ádica de um inteiro que é um resíduo quadrático módulo p. Este parece ser o método mais rápido conhecido para testar se um grande inteiro é um quadrado: basta testar se o inteiro dado é o quadrado do valor encontrado em ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$. Aplicar o método de Newton para encontrar a raiz quadrada requer que ${\textstyle p^{n}}$ seja maior que o dobro do inteiro dado, o que é rapidamente satisfeito.

O levantamento de Hensel é um método semelhante que permite "levantar" a fatoração módulo p de um polinômio com coeficientes inteiros para uma fatoração módulo ${\textstyle p^{n}}$ para grandes valores de n. Isso é comumente usado por algoritmos de fatoração de polinômios.

Cardinalidade

Tanto ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ quanto ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ são não enumeráveis e têm a cardinalidade do contínuo.^[15] Para ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$ isso resulta da representação p-ádica, que define uma bijeção de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ no conjunto das partes ${\displaystyle \{0,\ldots ,p-1\}^{\mathbb {N} }.}$ Para ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ isso resulta de sua expressão como uma união enumeravelmente infinita de cópias de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$: $${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\bigcup _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{i}}}\mathbb {Z} _{p}.}$$

Fecho algébrico

O corpo ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ contém ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ e é um corpo de característica 0.

Porque 0 pode ser escrito como soma de quadrados,^[d] ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ não pode ser transformado em um corpo ordenado.

O corpo dos números reais ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tem apenas uma única extensão algébrica própria: os números complexos ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Em outras palavras, esta extensão quadrática já é algebricamente fechada. Em contraste, o fecho algébrico de ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$, denotado ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}},}$ tem grau infinito,^[16] isto é, ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ tem infinitas extensões algébricas não equivalentes. Também contrastando com o caso dos números reais, embora exista uma extensão única da valoração p-ádica para ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}},}$ esta última não é (metricamente) completa.^[17][18]

Seu completamento (métrico) é denotado ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ ou ${\displaystyle \Omega _{p}}$,^[18][19] e às vezes chamado de números p-ádicos complexos por analogia aos números complexos. O corpo ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ é algebricamente fechado.^[18][20] No entanto, ao contrário de ${\displaystyle \mathbb {C} }$, este corpo não é localmente compacto.^[19]

Os corpos ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ e ${\displaystyle \mathbb {C} }$ são isomorfos,^[e] portanto podemos considerar ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ como ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dotado de uma métrica exótica. A prova da existência de tal isomorfismo de corpos depende do axioma da escolha e não fornece um exemplo explícito de tal isomorfismo (isto é, não é construtiva).

Se ${\displaystyle K}$ é qualquer extensão de Galois finita de ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$ o grupo de Galois ${\displaystyle \operatorname {Gal} \left(K/\mathbb {Q} _{p}\right)}$ é solúvel. Assim, o grupo de Galois absoluto ${\displaystyle {\operatorname {Gal} }{\bigl (}\,{\overline {\mathbb {Q} _{p}}}/\mathbb {Q} _{p}{\bigr )}}$ é prosolúvel.

Grupo multiplicativo

O grupo das unidades ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$ está contido no grupo multiplicativo ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }=\mathbb {Q} _{p}-\{0\}}$. Eles têm o mesmo subgrupo de torção (subgrupo de elementos de ordem finita). O lema de Hensel implica que o subgrupo de torção de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$ mapeia sobrejetivamente para ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$. O núcleo é ${\displaystyle \{1\}}$ quando ${\displaystyle p>2}$ e ${\displaystyle \{\pm 1\}}$ quando ${\displaystyle p=2}$. Em particular, o subgrupo de torção de ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }}$ é cíclico de ordem ${\displaystyle p-1}$ quando ${\displaystyle p>2}$, e é igual a ${\displaystyle \{\pm 1\}}$ quando ${\displaystyle p=2}$. Portanto, para n > 2, o corpo ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ contém o n-ésimo corpo ciclotômico se e somente se n | p − 1.^[21]

Dado um número natural k, seja ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times k}}$ o grupo das potências k-ésimas de elementos de ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }}$; então o índice ${\displaystyle (\mathbb {Q} _{p}^{\times }:\mathbb {Q} _{p}^{\times k})}$ é finito.

Princípio local–global

O princípio local–global de Helmut Hasse é dito valer para uma equação se ela pode ser resolvida sobre os números racionais se e somente se pode ser resolvida sobre os números reais e sobre os números p-ádicos para todo primo p. Este princípio vale, por exemplo, para equações dadas por formas quadráticas, mas falha para polinômios de grau superior em várias indeterminadas.

Aritmética racional com levantamento de Hensel

Aplicações

Os números p-ádicos apareceram em vários campos da matemática, bem como na física.

Generalizações e conceitos relacionados

Os reais e os números p-ádicos são os completamentos dos racionais; também é possível completar outros corpos, por exemplo, corpos de números algébricos gerais, de maneira análoga. Isso será descrito agora.

Suponha que D seja um domínio de Dedekind e E seja seu corpo de frações. Escolha um ideal primo não nulo P de D. Se x é um elemento não nulo de E, então xD é um ideal fracionário e pode ser fatorado de forma única como um produto de potências positivas e negativas de ideais primos não nulos de D. Portanto, escrevendo ord_P(x) para o expoente de P nesta fatoração, obtém-se uma valoração discreta bem definida, e para qualquer escolha de número c maior que 1, podemos definir$${\displaystyle |x|_{P}=c^{-\!\operatorname {ord} _{P}(x)}.}$$Completar com respeito a este valor absoluto |⋅|_P produz um corpo E_P, a generalização apropriada do corpo dos números p-ádicos para esta configuração. A escolha de c não altera o completamento (diferentes escolhas produzem o mesmo conceito de sequência de Cauchy, portanto o mesmo completamento). É conveniente, quando o corpo residual D/P é finito, tomar para c o tamanho de D/P.

Por exemplo, quando E é um corpo de números e D é seu anel de inteiros, o teorema de Ostrowski diz que todo valor absoluto não arquimediano não trivial em E surge como algum |⋅|_P. Os valores absolutos não triviais restantes em E surgem das diferentes imersões de E nos números reais ou complexos. (Na verdade, os valores absolutos não arquimedianos podem ser considerados simplesmente como as diferentes imersões de E nos corpos C_p, colocando assim a descrição de todos os valores absolutos não triviais de um corpo de números em um terreno comum.)

Frequentemente, é necessário acompanhar simultaneamente todos os completamentos acima mencionados quando E é um corpo de números (ou mais geralmente um corpo global), que são vistos como codificando informações "locais". Isso é realizado pelos anéis de adeles e grupos de ideles.

Os inteiros p-ádicos podem ser estendidos para solenoides p-ádicos ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$. Há um mapa de ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ para o grupo circular cujas fibras são os inteiros p-ádicos ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$, em analogia a como há um mapa de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ para o círculo cujas fibras são ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Os inteiros p-ádicos também podem ser estendidos para inteiros profinitos ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$, que podem ser entendidos como o produto direto de anéis$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}.}$$Ao contrário dos inteiros p-ádicos, que apenas generalizam o módulo sobre potências primas p^k, os inteiros profinitos generalizam o módulo sobre todos os números naturais n. O teorema chinês do resto também implica uma estrutura de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ para bases compostas: para qualquer n que tenha pelo menos dois fatores primos distintos, o anel de inteiros n-ádicos ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ é isomorfo a ${\displaystyle \prod _{p|n}\mathbb {Z} _{p}}$.^[22]

Ver também

Notas e referências

Bibliografia

Leitura adicional

Ligações externas

O Commons possui uma categoria com imagens e outros ficheiros sobre Número p-ádico

• Weisstein, Eric W. «p-adic Number». MathWorld (em inglês) 
• Número p-ádico na Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics

• Portal da matemática