Construção do feixe estrutural

Para cada anel comutativo ⁠${\displaystyle R}$⁠, o espaço topológico ⁠${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$⁠ é naturalmente dotado de um feixe de anéis comutativos, chamado seu feixe estrutural e comumente denotado ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$⁠. Isso torna ⁠${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$⁠ um espaço anelado, chamado de esquema afim e também denotado ⁠${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$⁠.

Um feixe de anéis ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$⁠ sobre um espaço topológico ⁠${\displaystyle X}$⁠ consiste em uma família de anéis ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$⁠ (notação alternativa: ${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$) indexada pelos conjuntos abertos ⁠${\displaystyle U}$⁠ de ⁠${\displaystyle X}$⁠. Para cada inclusão ⁠${\displaystyle U\subset V}$⁠ de conjuntos abertos, há um canônico homomorfismo de anéis ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(V)\to {\mathcal {O}}_{X}(U)}$⁠. Esses homomorfismos canônicos devem satisfazer algumas condições de compatibilidade.

A primeira condição de compatibilidade é que os homomorfismos canônicos se comportem conforme o esperado em relação à composição de inclusões. Isso significa que se ⁠${\displaystyle {\mathcal {U}}}$⁠ é a categoria dos conjuntos abertos com inclusões como morfismos, ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$⁠ é um functor contravariante de ⁠${\displaystyle {\mathcal {U}}}$⁠ para a categoria dos anéis.

A segunda condição de compatibilidade é que ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$⁠ pode ser recuperado unicamente a partir dos ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U_{i})}$⁠ se ⁠${\displaystyle \textstyle U=\bigcup _{i\in C}U_{i}}$⁠ é uma cobertura aberta de ⁠${\displaystyle U}$⁠. Tecnicamente, isso pode ser expresso como$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)=\varprojlim _{i\in C}U_{i},}$$onde ⁠${\displaystyle \varprojlim }$⁠ denota um limite inverso.

No caso de um esquema afim ⁠${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$⁠, o anel ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$⁠ é primeiramente definido para conjuntos abertos principais da forma ⁠${\displaystyle D_{f}}$⁠ como a localização$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D_{f})=R_{f}=S^{-1}R,}$$onde ${\displaystyle S=\{1,f,f^{2},f^{3},\dots \}}$ é o conjunto das potências inteiras de ⁠${\displaystyle f}$⁠. Observa-se que ${\displaystyle D_{g}\subseteq D_{f}\iff g\in {\sqrt {(f)}},}$ de modo que ${\displaystyle g^{n}=rf}$ para algum inteiro positivo ${\displaystyle n}$ e ⁠${\displaystyle r\in R}$⁠, e ⁠${\displaystyle f}$⁠ é invertível em ⁠${\displaystyle R_{g}}$⁠. Isso permite que o homomorfismo canônico ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D_{f})\to {\mathcal {O}}_{X}(D_{g})}$⁠ seja definido como a localização ⁠${\displaystyle R_{f}\to R_{g}}$⁠ mapeando ${\displaystyle a/f^{m}\mapsto ar^{m}/g^{nm}.}$

Para os outros conjuntos abertos, ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$⁠ é definido como$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)=\textstyle \varprojlim _{D_{f}\subseteq U}R_{f},}$$e os homomorfismos de anéis canônicos são definidos correspondentemente. Essas definições, para conjuntos abertos que possivelmente não são principais, raramente são usadas na prática, exceto para provar que essas definições definem efetivamente um feixe de anéis.

Para um espaço anelado ⁠${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$⁠, o fibra em um ponto ⁠${\displaystyle x}$⁠ é o limite direto$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}=\textstyle \varinjlim _{x\in U}{\mathcal {O}}_{X}(U),}$$onde ⁠${\displaystyle U}$⁠ percorre os conjuntos abertos de ⁠${\displaystyle X}$⁠ contendo ⁠${\displaystyle x}$⁠. No caso de um esquema afim ⁠${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$⁠, o fibra ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,{\mathfrak {p}}}}$ em um ponto ⁠${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in X}$⁠ é o anel local ⁠${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$⁠. Portanto, um esquema afim é um espaço localmente anelado. Os elementos de um fibra são chamados de germes. Um germe em ⁠${\displaystyle x}$⁠ captura o comportamento local infinitesimal de um elemento de ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ em torno de ⁠${\displaystyle x}$⁠.

Seções do feixe estrutural

Os elementos de ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$⁠ são conhecidos como seções do feixe estrutural sobre ⁠${\displaystyle U}$⁠. O anel de seções ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$⁠ para um esquema afim ⁠${\displaystyle X}$⁠ pode ser pensado como uma generalização do anel de funções regulares sobre um subconjunto aberto ⁠${\displaystyle T\subseteq V}$⁠ de uma variedade afim ⁠${\displaystyle V\subseteq k^{N}}$⁠ (${\displaystyle k={\overline {k}}}$ um corpo algebricamente fechado), e as seções ${\displaystyle s\in {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ podem ser pensadas como generalizações de funções regulares; ou seja, funções ${\displaystyle f:T\to k}$ tais que para cada ⁠${\displaystyle p\in T}$⁠, existe um subconjunto aberto ${\displaystyle W\subseteq T}$ contendo ⁠${\displaystyle p}$⁠ tal que ${\displaystyle f(w)=g(w)/h(w)}$ para alguns ${\displaystyle g,h\in k[V],\ h(w)\neq 0,}$ para todos ${\displaystyle w\in W.}$ Aqui, ${\displaystyle k[V]}$ é o anel das funções polinomiais em ⁠${\displaystyle V}$⁠, conhecido como seu anel de coordenadas; se ${\displaystyle \operatorname {I} (V)}$ é o ideal de todos os polinômios que se anulam em ⁠${\displaystyle V}$⁠, então ${\displaystyle k[V]=k[x_{1},\dots ,x_{N}]/\operatorname {I} (V).}$ Os anéis de funções regulares sobre subconjuntos abertos de uma variedade afim, de fato, formam um feixe de ${\displaystyle k}$-álgebras, que é chamado de feixe estrutural da variedade. O feixe estrutural de esquemas afins generaliza essa construção; para detalhes, veja variedade afim#feixe estrutural.

Dois fatos fundamentais da teoria das variedades afins informam o que o anel de seções globais de um esquema afim deve ser: 1) o anel das funções regulares globais ${\displaystyle f:V\to k}$ de uma variedade afim ⁠${\displaystyle V}$⁠ é simplesmente o anel de coordenadas ⁠${\displaystyle k[V]}$⁠; 2) o Nullstellensatz estabelece uma correspondência biunívoca entre os pontos da variedade afim ⁠${\displaystyle V}$⁠ e os ideais maximais de seu anel de coordenadas ⁠${\displaystyle k[V]}$⁠. Assim, o anel de coordenadas ⁠${\displaystyle k[V]}$⁠ nos dá todas as funções globais permitidas em ⁠${\displaystyle V}$⁠, enquanto seu conjunto de ideais maximais ⁠${\displaystyle \operatorname {MaxSpec} (k[V])}$⁠ pode ser identificado com ⁠${\displaystyle V}$⁠ propriamente dito. Considerando anéis comutativos arbitrários em vez de apenas anéis de coordenadas (ou seja, ${\displaystyle k}$-álgebras reduzidas finitamente geradas) e tomando todos os ideais primos de um anel, não apenas os maximais, esses fatos motivam a definição do anel de seções globais do esquema afim ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$ simplesmente como ⁠${\displaystyle R}$⁠: ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(X)=R.}$

No caso geral, as seções de um feixe estrutural de um esquema afim não podem ser consideradas como "funções" verdadeiras. No entanto, é útil pensar em um elemento ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{X}(X)=R}$ como um objeto que se comporta analogamente a uma "função" em ⁠${\displaystyle X}$⁠ definindo seu valor em ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ no corpo de frações ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R/{\mathfrak {p}})}$ como

${\displaystyle f({\mathfrak {p}})={\frac {f\operatorname {mod} {\mathfrak {p}}}{1}}.}$

Para o caso especial ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x]}$ com espectro ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)=\{{\mathfrak {m}}_{a}:a\in \mathbb {C} \}\cup \{(0)\},}$ a avaliação de ${\displaystyle f\in R}$ no ideal maximal ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}=(x-a)}$ sob esta definição corresponde à avaliação polinomial em ⁠${\displaystyle a}$⁠, ⁠${\displaystyle f\mapsto f(a)}$⁠, como seria de se esperar.

Esta definição nos permite reescrever a definição de conjuntos abertos principais como

${\displaystyle D_{f}=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R):f({\mathfrak {p}})\neq 0\},}$

estreitamente análoga à sua definição na teoria das variedades afins. Por analogia com funções regulares em subconjuntos abertos principais de variedades afins, elementos da forma ${\displaystyle a/f^{n}}$ em ${\displaystyle R_{f}}$ podem ser considerados como "funções" permitidas em ${\displaystyle D_{f},}$ motivando ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D_{f})=R_{f}}$ como o ponto de partida para a definição abstrata do feixe estrutural dada na seção anterior.

Os valores de ${\displaystyle f({\mathfrak {p}})}$ podem estar em diferentes corpos ${\displaystyle \operatorname {Frac} (R/{\mathfrak {p}})}$ que variam dependendo do ponto ${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$ Além disso, um ⁠${\displaystyle f\in R}$⁠ não nulo poderia ter um valor zero em todo ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in X;}$ mais geralmente, ⁠${\displaystyle f}$⁠ não é determinado por seus valores. Assim, ${\displaystyle f\in R}$ (e mais geralmente, seções ${\displaystyle s\in {\mathcal {O}}_{X}(U)}$) não podem ser interpretadas como "funções" verdadeiras, exceto em casos especiais. Em vez disso, os elementos de ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$⁠ podem ser definidos como certas coleções permitidas de objetos, comportando-se como "lascas de funções", que capturam o comportamento local da seção em torno de cada ponto. Especificamente, uma seção de ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ será uma coleção de germes localmente compatíveis, consistindo de um germe ${\displaystyle s_{\mathfrak {p}}\in R_{\mathfrak {p}}}$ para cada ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in U}$. Aqui, localmente compatível significa que, em torno de cada ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in U,}$ os germes de uma seção ${\displaystyle s\in {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ coincidem com todos os germes de alguma seção local ${\displaystyle t_{\alpha }\in R_{f_{\alpha }}}$ sobre um subconjunto aberto principal ${\displaystyle D_{f_{\alpha }}}$ contido em ${\displaystyle U}$ e contendo ${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$ Para construir uma seção ${\displaystyle (s_{\mathfrak {p}})_{{\mathfrak {p}}\in U},}$ escolhem-se subconjuntos abertos principais ${\displaystyle \{D_{f_{\alpha }}\}}$ e seções locais ${\displaystyle \{t_{\alpha }\}}$ de modo que os ${\displaystyle D_{f_{\alpha }}}$ cubram ${\displaystyle U}$ e os ${\displaystyle t_{\alpha }}$ induzam uma escolha única consistente para o germe ${\displaystyle s_{\mathfrak {p}}}$ em cada ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in U.}$ Formalmente, coloca-se

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {O}}_{X}(U)={\Big \{}s=(s_{\mathfrak {p}})_{{\mathfrak {p}}\in U}\in \prod _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{\mathfrak {p}}\ \ \ {\Big |}\ \ \ &\forall {\mathfrak {p}}\in U,\ \exists (D_{f_{\alpha }}\ni {\mathfrak {p}})\subseteq U\ \mathrm {e} \ t_{\alpha }\in R_{f_{\alpha }}\\&\mathrm {t.q.} \ \ \ \forall {\mathfrak {q}}\in D_{f_{\alpha }},\ s_{\mathfrak {q}}=(t_{\alpha })_{\mathfrak {q}}{\Big \}},\end{aligned}}}$

onde ${\displaystyle (t_{\alpha })_{\mathfrak {q}}\in R_{\mathfrak {q}}}$ é a imagem de ${\displaystyle t_{\alpha }}$ sob o mapa natural ${\displaystyle R_{f_{\alpha }}\to R_{\mathfrak {q}}.}$ Pode-se mostrar que esta definição dá ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D_{f})\cong R_{f},}$ concordando com a construção anterior. Se ${\displaystyle U'\subseteq U}$, o homomorfismo canônico ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)\to {\mathcal {O}}_{X}(U')}$ é simplesmente dado por ${\displaystyle s\mapsto s|_{U'}}$ onde ${\displaystyle (s|_{U'})_{\mathfrak {p}}=s_{\mathfrak {p}}}$ para todos ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in U'.}$

O valor ${\displaystyle s({\mathfrak {p}})}$ é definido como a imagem de ${\displaystyle s_{\mathfrak {p}}}$ sob o mapa natural ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}\to R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {m}}_{\mathfrak {p}},}$ onde ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$ é o ideal maximal do anel local ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$

Se ${\displaystyle R}$ é um domínio de integridade, com corpo de frações ${\displaystyle K=\operatorname {Frac} (R),}$ então podemos descrever o anel ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$⁠ mais concretamente da seguinte forma. Dizemos que um elemento ${\displaystyle f}$ em ${\displaystyle K}$ é regular em um ponto ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ em ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} {R}}$ se ele pode ser representado como uma fração ${\displaystyle f=a/b}$ com ${\displaystyle b\notin {\mathfrak {p}}.}$ Note que isso concorda com a noção de função regular em geometria algébrica. Usando esta definição, podemos descrever ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$⁠ precisamente como o conjunto de elementos de ${\displaystyle K}$ que são regulares em todos os pontos ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ em ${\displaystyle U,}$ ou, mais explicitamente,

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)=\{a/b\in K\ |\ \forall {\mathfrak {p}}\in U,\ b\notin {\mathfrak {p}}\}.}$

Isso é equivalente a descrever ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$⁠ como a interseção de anéis locais ${\textstyle \bigcap _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{\mathfrak {p}}}$ com cada anel local ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ embutido em ⁠${\displaystyle K}$⁠.

Equivalência de categorias entre anéis e esquemas afins

Os esquemas afins formam uma categoria cujos morfismos são morfismos de espaços anelados. Neste contexto, ⁠${\displaystyle \operatorname {Spec} }$⁠ é um functor contravariante da categoria dos anéis comutativos para a dos esquemas afins. Reciprocamente, dado um esquema afim, o anel definidor pode ser recuperado como ⁠${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(X)}$⁠. Isso define um functor na direção oposta, e esses dois functores tornam as duas categorias dualmente equivalentes.

Variedades algébricas afins

As variedades algébricas afins fornecem exemplos fundamentais de esquemas afins no sentido de que Alexandre Grothendieck introduziu a teoria dos esquemas para fornecer um cenário para reformular e resolver de forma clara e precisa problemas que eram mal ou inadequadamente tratados pela teoria clássica das variedades. Algumas das questões abordadas incluem lidar com multiplicidades, desenvolver uma abordagem livre de coordenadas, estudar os pontos racionais sobre um corpo que não é algebricamente fechado e estabelecer uma estrutura única para variedades algébricas afins, projetivas e abstratas.

Um conjunto algébrico afim ⁠${\displaystyle V}$⁠ sobre o corpo dos números complexos ⁠${\displaystyle \mathbb {C} }$⁠ é o conjunto dos zeros comuns em ⁠${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$⁠ de um conjunto de polinômios em ⁠${\displaystyle n}$⁠ indeterminadas, ou seja, polinômios em ⁠${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$⁠.^[b] O conjunto dos zeros comuns permanece o mesmo se os polinômios forem substituídos pelo ideal ⁠${\displaystyle I}$⁠ que eles geram. O anel quociente ⁠${\displaystyle R=\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]/I}$⁠, chamado de anel de funções regulares em ⁠${\displaystyle V}$⁠, é isomorfo ao anel das funções polinomiais com valores em ⁠${\displaystyle \mathbb {C} }$⁠, definidas a menos de igualdade em ⁠${\displaystyle \mathbb {C} }$⁠. De fato, o Nullstellensatz de Hilbert estabelece um homeomorfismo para as topologias de Zariski entre os pontos de ⁠${\displaystyle V}$⁠ e os ideais maximais de ⁠${\displaystyle R}$⁠, ou seja, os pontos fechados de ⁠${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$⁠. Assim, os pontos de ⁠${\displaystyle V}$⁠ podem ser identificados com os ideais maximais de ⁠${\displaystyle R}$⁠, e uma função regular consiste na avaliação de um elemento de ⁠${\displaystyle R}$⁠ nos pontos fechados do espectro.

Em suma, toda afirmação sobre conjuntos algébricos afins e variedades algébricas afins pode ser traduzida para a linguagem dos esquemas afins. Isso tem muitas vantagens; em particular:

• Não há necessidade de supor que o corpo base seja algebricamente fechado, e mesmo de supor a existência de um corpo base (ao lidar com ⁠${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$⁠, não há necessidade de supor que ⁠${\displaystyle R}$⁠ contenha um corpo).
• Não há necessidade de supor que ⁠${\displaystyle R}$⁠ seja um domínio de integridade, como geralmente é o caso na geometria algébrica clássica. Em particular, a interseção de duas variedades afins não é, em geral, uma variedade; é um conjunto algébrico com multiplicidades. Por exemplo, a interseção do círculo ⁠${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$⁠ e da reta ⁠${\displaystyle x=1}$⁠ é ⁠${\displaystyle \operatorname {Spec} ([x,y]/\langle y^{2}\rangle )}$⁠, e a interseção é codificada no esquema afim, enquanto não está na definição conjuntista de conjuntos algébricos.

Exemplo de um Spec relativo

O spec relativo é a ferramenta correta para parametrizar a família de retas através da origem de ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{2}}$ sobre ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{a,b}^{1}.}$ Considere o feixe de álgebras ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x,y],}$ e seja ${\displaystyle {\mathcal {I}}=(ay-bx)}$ um feixe de ideais de ${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$ Então o spec relativo ${\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}({\mathcal {A}}/{\mathcal {I}})\to \mathbb {P} _{a,b}^{1}}$ parametriza a família desejada. De fato, a fibra sobre ${\displaystyle [\alpha$ :\beta ]} é a reta através da origem de ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$ contendo o ponto ${\displaystyle (\alpha ,\beta ).}$ Supondo ${\displaystyle \alpha \neq 0,}$ a fibra pode ser calculada observando a composição de diagramas de recuo

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{\left(y-{\frac {\beta }{\alpha }}x\right)}}\right)&\to &\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right][x,y]}{\left(y-{\frac {b}{a}}x\right)}}\right)&\to &{\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{X}[x,y]}{\left(ay-bx\right)}}\right)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {C} )&\to &\operatorname {Spec} \left(\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right]\right)=U_{a}&\to &\mathbb {P} _{a,b}^{1}\end{matrix}}}$

onde a composição das setas inferiores

${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} ){\xrightarrow {[\alpha$ :\beta ]}}\mathbb {P} _{a,b}^{1}}

dá a reta contendo o ponto ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ e a origem. Este exemplo pode ser generalizado para parametrizar a família de retas através da origem de ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n+1}}$ sobre ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{a_{0},...,a_{n}}^{n}}$ fazendo ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x_{0},...,x_{n}]}$ e ${\displaystyle {\mathcal {I}}=\left(2\times 2{\text{ menores de }}{\begin{pmatrix}a_{0}&\cdots &a_{n}\\x_{0}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}\right).}$