Na matemática, a teoria de Arakelov (ou geometria de Arakelov) é uma abordagem para a Geometria diofantina, nomeada em homenagem a Suren Arakelov. É usada para estudar equações diofantinas em dimensões superiores.

Contexto

A principal motivação por trás da geometria de Arakelov é que existe uma correspondência entre ideais primos ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$ e lugares finitos ${\displaystyle v_{p}:\mathbb {Q} ^{*}\to \mathbb {R} }$, mas também existe um lugar no infinito ${\displaystyle v_{\infty }}$, dado pela valorização arquimediana, que não possui um ideal primo correspondente. A geometria de Arakelov fornece uma técnica para compactificar ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$ em um espaço completo $${\displaystyle {\overline {{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}}}$$ que possui um primo situado no infinito.

A construção original de Arakelov estuda uma dessas teorias, onde uma definição de divisores é construída para um esquema ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ de dimensão relativa 1 sobre ${\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}$ de tal forma que ele se estende a uma Superfície de Riemann ${\displaystyle X_{\infty }={\mathfrak {X}}(\mathbb {C} )}$ para toda valorização no infinito. Além disso, ele equipa essas superfícies de Riemann com métricas hermitianas em fibrados vetoriais holomorfos sobre ${\displaystyle X(\mathbb {C} )}$, os pontos complexos de ${\displaystyle X}$. Essa estrutura hermitiana extra é aplicada como um substituto para a falha do esquema Spec(Z) em ser uma variedade completa.

Note que existem outras técnicas para construir um espaço completo estendendo ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$, o que forma a base da geometria F₁.

Resultados

Arakelov (1974, 1975) definiu uma teoria da interseção nas superfícies aritméticas anexadas a curvas projetivas suaves sobre corpos de números, com o objetivo de provar certos resultados — conhecidos no caso de corpos de funções — para o caso de corpos de números. Faltings (1984) estendeu o trabalho de Arakelov estabelecendo resultados como um teorema de Riemann-Roch, uma Fórmula de Noether, um teorema do índice de Hodge e a não-negatividade da autointerseção do feixe dualizante neste contexto.

A teoria de Arakelov foi usada por Paul Vojta (1991) para dar uma nova prova da Conjectura de Mordell, e por Faltings (1991) em sua prova da generalização de Serge Lang da conjectura de Mordell.

Pierre Deligne (1987) desenvolveu um arcabouço mais geral para definir o emparelhamento de interseção definido em uma superfície aritmética sobre o espectro de um anel de inteiros por Arakelov. Shou-Wu Zhang (1992) desenvolveu uma teoria de fibrados em retas positivos e provou um teorema do tipo Nakai–Moishezon para superfícies aritméticas. Desenvolvimentos posteriores na teoria de fibrados em retas positivos por Zhang (1993, 1995a, 1995b) e Szpiro, Ullmo e Zhang (1997) culminaram em uma prova da Conjectura de Bogomolov por Ullmo (1998) e Zhang (1998).^[1]

A teoria de Arakelov foi generalizada por Henri Gillet e Christophe Soulé para dimensões superiores. Ou seja, Gillet e Soulé definiram um emparelhamento de interseção em uma variedade aritmética. Um dos principais resultados de Gillet e Soulé é o teorema de Riemann-Roch aritmético (1992), uma extensão do Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch para variedades aritméticas. Para isso, define-se os grupos de Chow aritméticos ${\displaystyle \mathrm {CH} ^{p}(X)}$ de uma variedade aritmética ${\displaystyle X}$, e define-se as classes de Chern para fibrados vetoriais hermitianos sobre ${\displaystyle X}$ assumindo valores nos grupos de Chow aritméticos. O teorema de Riemann-Roch aritmético então descreve como a classe de Chern se comporta sob a imagem direta (pushforward) de fibrados vetoriais sob um morfismo próprio de variedades aritméticas. Uma prova completa deste teorema só foi publicada recentemente por Gillet, Rössler e Soulé.

A teoria da interseção de Arakelov para superfícies aritméticas foi desenvolvida ainda mais por Jean-Benoît Bost (1999). A teoria de Bost baseia-se no uso de funções de Green que, a menos de singularidades logarítmicas, pertencem ao espaço de Sobolev ${\displaystyle L_{1}^{2}}$. Neste contexto, Bost obtém um teorema do índice de Hodge aritmético e o utiliza para obter teoremas de Lefschetz para superfícies aritméticas.

Grupos de Chow aritméticos

Um ciclo aritmético de codimensão ${\displaystyle p}$ é um par ${\displaystyle (Z,g)}$ onde ${\displaystyle Z\in Z^{p}(X)}$ é um ${\displaystyle p}$-ciclo em ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle g}$ é uma corrente de Green para ${\displaystyle Z}$, uma generalização de dimensão superior de uma função de Green. O grupo de Chow aritmético ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {CH} }}_{p}(X)}$ de codimensão ${\displaystyle p}$ é o quociente deste grupo pelo subgrupo gerado por certos ciclos "triviais".^[2]

O teorema de Riemann-Roch aritmético

O Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch usual descreve como o Caráter de Chern ${\displaystyle \mathrm {ch} }$ se comporta sob a imagem direta (pushforward) de feixes, e afirma que ${\displaystyle \mathrm {ch} (f_{*}(E))=f_{*}(\mathrm {ch} (E)\mathrm {Td} _{X/Y})}$, onde ${\displaystyle f}$ é um morfismo próprio de ${\displaystyle X}$ para ${\displaystyle Y}$ e ${\displaystyle E}$ é um fibrado vetorial sobre ${\displaystyle f}$. O teorema de Riemann-Roch aritmético é semelhante, exceto que a Classe de Todd é multiplicada por uma certa série de potências. O teorema de Riemann-Roch aritmético afirma $${\displaystyle {\hat {\mathrm {ch} }}(f_{*}([E]))=f_{*}({\hat {\mathrm {ch} }}(E){\widehat {\mathrm {Td} }}^{R}(T_{X/Y}))}$$ onde

• ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ são esquemas projetivos regulares aritméticos.
• ${\displaystyle f}$ é um morfismo próprio suave de ${\displaystyle X}$ para ${\displaystyle Y}$.
• ${\displaystyle E}$ é um fibrado vetorial aritmético sobre ${\displaystyle X}$.
• ${\displaystyle {\hat {\mathrm {ch} }}}$ é o caráter de Chern aritmético.
• ${\displaystyle T_{X/Y}}$ é o fibrado tangente relativo.
• ${\displaystyle {\hat {\mathrm {Td} }}}$ é a classe de Todd aritmética.
• ${\displaystyle {\hat {\mathrm {Td} }}^{R}(E)}$ é ${\displaystyle {\hat {\mathrm {Td} }}(E)(1-\epsilon (R(E)))}$.
• ${\displaystyle R(X)}$ é a classe característica aditiva associada à série de potências formal $${\displaystyle \sum _{m>0 \atop m{\text{ ímpar}}}{\frac {X^{m}}{m!}}\left[2\zeta '(-m)+\zeta (-m)\left({1 \over 1}+{1 \over 2}+\cdots +{1 \over m}\right)\right].}$$

Ver também

• Teoria de Hodge-Arakelov
• Teoria de Hodge
• Teoria de Hodge p-ádica
• Grupo adélico

Referências

Bibliografia

• Arakelov, Suren J. (1974), «Intersection theory of divisors on an arithmetic surface», Math. USSR Izv., 8 (6), pp. 1167–1180, Zbl 0355.14002, doi:10.1070/IM1974v008n06ABEH002141 
• Arakelov, Suren J. (1975), «Theory of intersections on an arithmetic surface», Proc. Internat. Congr. Mathematicians Vancouver, 1, Amer. Math. Soc., pp. 405–408, Zbl 0351.14003 
• Bost, Jean-Benoît (1999), «Potential theory and Lefschetz theorems for arithmetic surfaces» (PDF), Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, ISSN 0012-9593, Série 4, 32 (2), pp. 241–312, Zbl 0931.14014, doi:10.1016/s0012-9593(99)80015-9 
• Deligne, P. (1987), «Le déterminant de la cohomologie», Current trends in arithmetical algebraic geometry (Arcata, Calif., 1985) [The determinant of the cohomology], Contemporary Mathematics, 67, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 93–177, MR 902592, doi:10.1090/conm/067/902592 
• Faltings, Gerd (1984), «Calculus on Arithmetic Surfaces», Annals of Mathematics, Second Series, 119 (2), pp. 387–424, JSTOR 2007043, doi:10.2307/2007043 
• Faltings, Gerd (1991), «Diophantine Approximation on Abelian Varieties», Annals of Mathematics, Second Series, 133 (3), pp. 549–576, JSTOR 2944319, doi:10.2307/2944319 
• Faltings, Gerd (1992), Lectures on the arithmetic Riemann–Roch theorem, ISBN 0-691-08771-7, Annals of Mathematics Studies, 127, Princeton, NJ: Princeton University Press, MR 1158661, doi:10.1515/9781400882472 
• Gillet, Henri; Soulé, Christophe (1992), «An arithmetic Riemann–Roch Theorem», Inventiones Mathematicae, 110, pp. 473–543, doi:10.1007/BF01231343 
• Kawaguchi, Shu; Moriwaki, Atsushi; Yamaki, Kazuhiko (2002), «Introduction to Arakelov geometry», Algebraic geometry in East Asia (Kyoto, 2001), ISBN 978-981-238-265-8, River Edge, NJ: World Sci. Publ., pp. 1–74, MR 2030448, doi:10.1142/9789812705105_0001 
• Lang, Serge (1988), Introduction to Arakelov theory, ISBN 0-387-96793-1, New York: Springer-Verlag, MR 0969124, Zbl 0667.14001, doi:10.1007/978-1-4612-1031-3 
• Manin, Yu. I.; Panchishkin, A. A. (2007). Introduction to Modern Number Theory. Col: Encyclopaedia of Mathematical Sciences. 49 Second ed. [S.l.: s.n.] ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002 
• Predefinição:Eom
• Soulé, C.; with the collaboration of D. Abramovich, J.-F. Burnol and J. Kramer (1992), Lectures on Arakelov geometry, ISBN 0-521-41669-8, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 33, Cambridge: Cambridge University Press, pp. viii+177, MR 1208731, doi:10.1017/CBO9780511623950 
• Szpiro, Lucien; Ullmo, Emmanuel; Zhang, Shou-Wu (1997), «Equirépartition des petits points», Inventiones Mathematicae, 127 (2), pp. 337–347, Bibcode:1997InMat.127..337S, doi:10.1007/s002220050123 .
• Ullmo, Emmanuel (1998), «Positivité et Discrétion des Points Algébriques des Courbes», Annals of Mathematics, 147 (1), pp. 167–179, Zbl 0934.14013, arXiv:alg-geom/9606017, doi:10.2307/120987 
• Vojta, Paul (1991), «Siegel's Theorem in the Compact Case», Annals of Mathematics, Vol. 133, No. 3, Annals of Mathematics, 133 (3), pp. 509–548, JSTOR 2944318, doi:10.2307/2944318 
• Zhang, Shou-Wu (1992), «Positive line bundles on arithmetic surfaces», Annals of Mathematics, 136 (3), pp. 569–587, doi:10.2307/2946601 .
• Zhang, Shou-Wu (1993), «Admissible pairing on a curve», Inventiones Mathematicae, 112 (1), pp. 421–432, Bibcode:1993InMat.112..171Z, doi:10.1007/BF01232429 .
• Zhang, Shou-Wu (1995a), «Small points and adelic metrics», Journal of Algebraic Geometry, 8 (1), pp. 281–300 .
• Zhang, Shou-Wu (1995b), «Positive line bundles on arithmetic varieties», Journal of the American Mathematical Society, 136 (3), pp. 187–221, doi:10.1090/S0894-0347-1995-1254133-7 .
• Zhang, Shou-Wu (1996), «Heights and reductions of semi-stable varieties», Compositio Mathematica, 104 (1), pp. 77–105 .
• Zhang, Shou-Wu (1998), «Equidistribution of small points on abelian varieties», Annals of Mathematics, 147 (1), pp. 159–165, JSTOR 120986, doi:10.2307/120986 .

Ligações externas

• Artigo original (em inglês)
• Arquivo de preprints sobre geometria de Arakelov (em inglês)