Na topologia, uma superfície é uma variedade bidimensional.^[1] Algumas superfícies surgem como fronteiras de sólidos tridimensionais; por exemplo, a esfera é a fronteira da bola sólida. Outras superfícies surgem como gráficos de funções de duas variáveis (veja a figura à direita). No entanto, as superfícies também podem ser definidas de forma abstrata, sem referência a qualquer espaço ambiente. Por exemplo, a garrafa de Klein é uma superfície que não pode ser embutida no espaço euclidiano tridimensional.

Superfícies topológicas são por vezes dotadas de estruturas adicionais, como uma métrica riemanniana ou uma estrutura complexa, que as conectam a outras disciplinas da matemática, como a geometria diferencial e a análise complexa. As várias noções matemáticas de superfície podem ser usadas para modelar superfícies no mundo físico.

Em geral

Na matemática, uma superfície é uma forma geométrica que se assemelha a um plano deformado. Os exemplos mais familiares surgem como fronteiras de objetos sólidos no espaço euclidiano tridimensional ordinário R³, como as esferas. A definição exata de uma superfície pode depender do contexto. Tipicamente, na geometria algébrica, uma superfície pode cruzar a si mesma (e conter outras singularidades), enquanto, na topologia e na geometria diferencial, isso geralmente não é permitido.

Uma superfície é um espaço bidimensional; isso significa que um ponto móvel em uma superfície pode se mover em duas direções independentes (possui dois graus de liberdade). Em outras palavras, ao redor de quase todos os pontos, há uma vizinhança de coordenadas na qual um sistema de coordenadas bidimensional está definido. Por exemplo, a superfície da Terra assemelha-se (idealmente) a uma esfera bidimensional, e a latitude e a longitude fornecem coordenadas bidimensionais sobre ela (exceto nos polos e ao longo do meridiano 180°).

O conceito de superfície é amplamente utilizado na física, na engenharia, na computação gráfica e em muitas outras áreas, principalmente na representação de objetos físicos. Por exemplo, na análise das propriedades aerodinâmicas de um avião, o aspecto central é o fluxo de ar ao longo de sua superfície.

Definições e primeiros exemplos

Uma superfície (topológica) é um espaço topológico no qual cada ponto possui uma vizinhança aberta homeomorfa a algum conjunto aberto do plano euclidiano E². Essa vizinhança, juntamente com o homeomorfismo correspondente, é denominada uma carta (de coordenadas). É por meio dessa carta que a vizinhança herda as coordenadas padrão do plano euclidiano. Essas coordenadas são chamadas de coordenadas locais e tais homeomorfismos levam à descrição das superfícies como sendo localmente euclidianas.

Na maioria dos textos sobre o tema, assume-se frequentemente, de forma explícita ou implícita, que, enquanto espaço topológico, uma superfície é não vazia, segundo-contável e de Hausdorff. Também se assume com frequência que as superfícies em consideração são conexas.

O restante deste artigo assumirá, a menos que especificado em contrário, que uma superfície é não vazia, de Hausdorff, segundo-contável e conexa.

Mais geralmente, uma superfície (topológica) com bordo é um espaço topológico de Hausdorff no qual cada ponto possui uma vizinhança aberta homeomorfa a algum subconjunto aberto do fecho do semiplano superior H² em C. Esses homeomorfismos também são chamados de cartas (de coordenadas). A fronteira do semiplano superior é o eixo x. Um ponto da superfície mapeado por uma carta no eixo x é denominado um ponto de bordo (ou ponto de fronteira). A coleção de tais pontos é chamada de bordo (ou fronteira) da superfície, que é necessariamente uma variedade unidimensional, isto é, a união de curvas fechadas. Por outro lado, um ponto mapeado estritamente acima do eixo x é um ponto interior. A coleção dos pontos interiores constitui o interior da superfície, que é sempre não vazio. O disco fechado é um exemplo simples de superfície com bordo; seu bordo é uma circunferência.

O termo superfície, quando usado sem qualificação adicional, refere-se a superfícies sem bordo. Em particular, uma superfície com bordo vazio é uma superfície no sentido usual. Uma superfície compacta e sem bordo é denominada uma superfície 'fechada'. A esfera bidimensional, o toro bidimensional e o plano projetivo real são exemplos de superfícies fechadas.

A fita de Möbius é uma superfície na qual a distinção entre sentido horário e anti-horário pode ser definida localmente, mas não globalmente. Em geral, diz-se que uma superfície é orientável se não contiver uma cópia homeomorfa da fita de Möbius; intuitivamente, ela possui dois "lados" distintos. Por exemplo, a esfera e o toro são orientáveis, enquanto o plano projetivo real não é (já que o plano projetivo real com um ponto removido é homeomorfo à fita de Möbius aberta).

Na geometria diferencial e algébrica, estruturas adicionais são adicionadas à topologia da superfície. Essa estrutura acrescentada pode ser uma estrutura diferenciável (permitindo definir funções diferenciáveis sobre a superfície), uma métrica riemanniana (permitindo definir distâncias, comprimentos e ângulos), uma estrutura complexa (tornando possível definir funções holomorfas — caso em que a superfície é denominada uma superfície de Riemann) ou uma estrutura algébrica (permitindo identificar singularidades, como autointerseções e cúspides, que não podem ser descritas apenas pela topologia subjacente).

Superfícies definidas extrinsecamente e mergulhos

Historicamente, as superfícies foram inicialmente definidas como subespaços de espaços euclidianos. Com frequência, essas superfícies eram o lugar geométrico dos zeros de determinadas funções, em geral polinomiais. Tal definição considerava a superfície como parte de um espaço ambiente maior (euclidiano), sendo por isso denominada extrínseca.

Na seção anterior, uma superfície é definida como um espaço topológico com propriedades intrínsecas (espaço de Hausdorff e localmente euclidiano), sem ser tratada a priori como subespaço de outro espaço. Nesse sentido, a definição moderna adotada pelos matemáticos é intrínseca.

Uma superfície definida intrinsecamente não precisa satisfazer a restrição de ser um subespaço do espaço euclidiano. Poderia parecer plausível que certas superfícies abstratas não pudessem ser realizadas extrinsecamente. No entanto, o teorema do mergulho de Whitney estabelece que toda superfície pode, de fato, ser homeomorficamente embutida no espaço euclidiano, mais especificamente em E⁴: as abordagens intrínseca e extrínseca revelam-se equivalentes.

Com efeito, qualquer superfície compacta que seja orientável ou que possua bordo pode ser embutida em E³; por outro lado, o plano projetivo real, que é compacto, não orientável e sem bordo, não pode ser embutido em E³. As superfícies de Steiner, incluindo a superfície de Boy, a superfície romana e o cross-cap, são modelos do plano projetivo real em E³, mas apenas a superfície de Boy é uma superfície imersa. Todos esses modelos apresentam singularidades nos pontos em que interceptam a si mesmos.

A esfera com chifres de Alexander é um conhecido mergulho patológico da 2-esfera na 3-esfera.

O mergulho escolhido de uma superfície em outro espaço é considerado uma informação extrínseca; não é essencial à estrutura topológica da superfície em si. Por exemplo, um toro pode ser embutido em E³ da forma "padrão" (semelhante a uma rosquinha) ou de forma atada por um nó (veja a figura). Os dois toros embutidos são homeomorfos entre si, mas não são isotópicos: são topologicamente equivalentes, mas seus mergulhos não são equivalentes no espaço ambiente.

A imagem de uma função contínua e injetiva de R² em um espaço de dimensão superior Rⁿ é chamada de superfície paramétrica. Uma superfície paramétrica não precisa ser necessariamente uma superfície topológica regular. Uma superfície de revolução pode ser vista como um tipo particular de superfície paramétrica.

Se f é uma função suave de R³ em R cujo gradiente não se anula em nenhum ponto, o lugar geométrico dos zeros de f define uma superfície, conhecida como superfície implícita. Se a condição de gradiente não nulo for abandonada, o conjunto de zeros pode apresentar singularidades.

Construção a partir de polígonos

Toda superfície fechada pode ser construída a partir de um polígono orientado com um número par de lados, chamado de polígono fundamental da superfície, pela identificação aos pares de suas arestas. Por exemplo, em cada polígono abaixo, colar os lados com letras correspondentes (A com A, B com B), de modo que as setas apontem na mesma direção, produz a superfície indicada.

• 
  Esfera
• 
  Plano projetivo real
• 
  Toro
• 
  Garrafa de Klein

Qualquer polígono fundamental pode ser escrito simbolicamente da seguinte maneira: parte-se de um vértice qualquer e percorre-se o perímetro do polígono em um dos sentidos até retornar ao vértice inicial. Durante esse percurso, registra-se o rótulo de cada aresta em ordem, atribuindo um expoente -1 se a aresta apontar no sentido oposto ao percurso. Os quatro modelos acima, percorridos no sentido horário a partir do canto superior esquerdo, fornecem:

• Esfera: ${\displaystyle ABB^{-1}A^{-1}}$
• Plano projetivo real: ${\displaystyle ABAB}$
• Toro: ${\displaystyle ABA^{-1}B^{-1}}$
• Garrafa de Klein: ${\displaystyle ABAB^{-1}}$

Observe que a esfera e o plano projetivo podem ser realizados como quocientes de um 2-gomo (dígon), enquanto o toro e a garrafa de Klein exigem um 4-gomo (quadrado).

A expressão derivada de um polígono fundamental constitui a única relação em uma apresentação do grupo fundamental da superfície, tendo os rótulos das arestas do polígono como geradores. Esse resultado é uma consequência do teorema de Seifert-van Kampen.

A colagem de arestas de polígonos é um caso particular de espaço quociente. O conceito de quociente pode ser aplicado em maior generalidade para obter construções alternativas de superfícies. Por exemplo, o plano projetivo real pode ser obtido como o quociente da esfera pela identificação de todos os pares de pontos antípodas. Outro exemplo fundamental de quociente é a soma conexa.

Somas conexas

A soma conexa de duas superfícies M e N, denotada por M # N, é obtida removendo-se um disco aberto de cada uma delas e colando-as ao longo das circunferências de bordo resultantes. A característica de Euler ${\displaystyle \chi }$ de M # N é a soma das características de Euler das superfícies originais, subtraída de duas unidades:

${\displaystyle \chi (M{\mathbin {\#}}N)=\chi (M)+\chi (N)-2.\,}$

A esfera S atua como elemento neutro para a soma conexa, ou seja, S # M = M. Isso ocorre porque remover um disco da esfera deixa outro disco, que simplesmente preenche o disco removido de M durante a colagem.

A soma conexa com o toro T também é descrita como a adição de uma "asa" (ou "alça") à superfície M. Se M é orientável, então T # M também é orientável. A soma conexa é uma operação associativa, de modo que a soma conexa de uma coleção finita de superfícies está bem definida.

A soma conexa de dois planos projetivos reais, P # P, é a garrafa de Klein K. A soma conexa de um plano projetivo real com uma garrafa de Klein é homeomorfa à soma conexa do plano projetivo real com o toro; em fórmula: P # K = P # T. Consequentemente, a soma conexa de três planos projetivos reais é homeomorfa à soma conexa de um plano projetivo real com um toro. Qualquer soma conexa que envolva pelo menos um plano projetivo real é não orientável.

Superfícies fechadas

Uma superfície fechada é uma superfície que é compacta e sem bordo. Exemplos de superfícies fechadas incluem a esfera, o toro e a garrafa de Klein. Exemplos de superfícies não fechadas incluem o disco aberto (uma esfera com um ponto removido), o cilindro aberto (uma esfera com dois pontos removidos) e a fita de Möbius.

Uma superfície embutida no espaço tridimensional é fechada se e somente se for a fronteira de um sólido limitado. Como ocorre com qualquer variedade fechada, uma superfície contida no espaço euclidiano que seja fechada no sentido da topologia euclidiana não é necessariamente uma superfície fechada no sentido da teoria das variedades; por exemplo, um disco em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ que contém seu bordo é um conjunto topologicamente fechado, mas não é uma superfície fechada (pois possui bordo).

Classificação das superfícies fechadas

O teorema de classificação das superfícies fechadas estabelece que qualquer superfície fechada e conexa é homeomorfa a um membro de uma destas três famílias:

1. A esfera;
2. A soma conexa de g toros, para g ≥ 1;
3. A soma conexa de k planos projetivos reais, para k ≥ 1.

As superfícies das duas primeiras famílias são orientáveis. É conveniente unificar as duas primeiras famílias considerando a esfera como a soma conexa de 0 toros. O número g de toros envolvidos é chamado de gênero da superfície. A esfera e o toro têm características de Euler iguais a 2 e 0, respectivamente; em geral, a característica de Euler da soma conexa de g toros é dada por 2 − 2g.

As superfícies da terceira família são não orientáveis. A característica de Euler do plano projetivo real é 1 e, em geral, a característica de Euler da soma conexa de k planos projetivos reais é 2 − k.

Segue-se que uma superfície fechada é determinada, a menos de homeomorfismo, por duas informações: sua característica de Euler e sua orientabilidade. Em outras palavras, a característica de Euler e a orientabilidade classificam completamente as superfícies fechadas a menos de homeomorfismo.

Superfícies fechadas com múltiplas componentes conexas são classificadas pela classe de cada uma de suas componentes, assumindo-se em geral que a superfície em estudo seja conexa.

Superfícies descritas por funções

Se z = f(x,y), e se x e y são variáveis independentes, então a plotagem cartesiana de x contra y contra z irá resultar em uma superfície aberta, que se extende por todo o domínio e imagem da função.^[3] A área de um trecho dessa superfície que esteja contido num retângulo dado por x1, x2, y1 e y2 pode ser determinada através do seguinte método: a cada ponto (x, y, f(x,y)) da superfície, pode ser associado um vetor r = <x,y,f(x,y)>. Se a superfície for cortada por infinitos planos de x constante e y constante, infinitamente próximos uns dos outros, então cada pedaço infinitesimal de superfície poderá ser muito bem aproximado por um paralelogramo de lados infinitesimais. Os quatro cantos desse paralelogramo podem ser associados aos vetores r1 = <x, y, f(x,y)>, r2 = <x + dx,y,f(x + dx,y)>, r3 = <x,y + dy,f(x,y + dy)> e r4 = <x + dx,y + dy,f(x + dx,y + dy)>. Ora, é bem sabido que se os lados de um paralelogramo são descritos por vetores, então o produto vetorial deles terá módulo igual à área do paralelogramo. Os vetores associáveis aos lados do paralelogramo são as diferenças entre os vetores associáveis a seus vértices, ou seja, teremos lados L1 = r2 - r1 e L2 = r3 - r1; assim sendo:

${\displaystyle L1=<dx,0,f(x+dx,y)-f(x,y)>}$

${\displaystyle L2=<0,dy,f(x,y+dy)-f(x,y)>}$

Ou, alternativamente,

${\displaystyle L1=<1,0,{f(x+dx,y)-f(x,y) \over dx}>dx}$

${\displaystyle L2=<0,1,{f(x,y+dy)-f(x,y) \over dy}>dy}$

Mas isso recai na definição de derivada parcial, tal que

${\displaystyle L1=<1,0,f_{x}>dx}$

${\displaystyle L2=<0,1,f_{y}>dy}$

Como já foi dito, a área do paralelogramo infinitesimal será dada pelo módulo do produto vetorial de L1 por L2:

${\displaystyle a=||L1xL2||=||<1,0,f_{x}>dx\times <0,1,f_{y}>dy||}$

${\displaystyle a=||<-f_{x},-f_{y},1>||dxdy}$

${\displaystyle a={\sqrt {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}dxdy}$

E a área de toda a porção da superfície que está contida nesse intervalo nada mais será que o somatório de todas as áreas infinitesimais:

${\displaystyle A=\sum a=\int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}dxdy}$

Fluxos de campos vetoriais através de superfícies

Esta seção cita fontes, mas que não cobrem todo o conteúdo. Ajude a inserir referências (Encontre fontes: Google (N • L • A • I • WP refs)  • ABW  • CAPES). (dezembro de 2017)

O fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície s é definido como:

${\displaystyle \iint F\cdot NdS}$

Onde N é o vetor normal à superfície S em todo ponto, orientado para fora.

O fluxo pode também ser definido como :

${\displaystyle \pm \iint F\cdot \nabla GdS}$

Onde G é a curva de nível da superfície parametrizada em z=0; porém essa integral sempre resultará em um valor positivo, e por isso o sinal deve ser obtido pela análise de se o campo vetorial está entrando ou saindo da superfície; e dA é tal que .

Na realidade, estes fluxos podem também ser calculados pelo Teorema da Divergência de Gauss, que dá o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada em função do volume que ela contém. Este teorema pode ser enunciado como:

${\displaystyle \iint F\cdot NdS=\iiint \nabla FdV}$

Este teorema é particularmente útil pois superfícies fechadas podem ser expressas de forma paramétrica, mas não na forma de funções, o que pode complicar os cálculos.

Outro teorema útil para o cálculo fluxos através de superfícies é o Teorema de Stokes, que ao contrário do Teorema de Gauss, descreve o fluxo através de uma superfície necessariamente aberta, em função da curva r fechado que a limita. Este teorema pode ser enunciado como:

${\displaystyle \iint F\cdot dr=\iint \nabla F\times NdS}$

O Teorema de Stokes pode ser interpretado da seguinte forma: o fluxo de uma força através de uma superfície aberta será igual ao trabalho que essa forca realiza para deslocar uma partícula pela curva que limita essa superfície; logo, o mesmo fluxo (ou o mesmo trabalho) será realizado por essa forca através de qualquer superfície aberta que seja limitada pela mesma curva fechada. Adicionalmente, dado que essa curva será sempre fechada e que o caminho teórico dessa partícula sempre vai começar e terminar no mesmo ponto, então o teorema de Stokes nos permite afirmar que o fluxo de um campo vetorial conservativo através de uma superfície aberta será sempre igual a zero.

O principal exemplo de aplicação desse conceito são as Equações de Maxwell, em especial as Leis de Gauss para campo elétrico e campo magnético. A Lei de Gauss do campo elétrico tem por objetivo dar o fluxo de campo elétrico através de uma superfície que contenha carga elétrica liquida, e é descrita por:

${\displaystyle \int E\cdot dA={q \over \varepsilon }}$

Sendo E o campo, q a carga liquida contida na superfície e  a permissividade elétrica do meio. Já Lei de Gauss para o campo magnético tem por objetivo calcular o fluxo de campo magnético através de uma superfície que contenha carga magnética liquida. Essa equação é geralmente representada por:

${\displaystyle \int B\cdot dA=0}$

Sendo B o campo magnético. A integral é geralmente representada como sendo nula, dado que durante a maior parte da história não se conhecia nenhum monopolo magnético (a partícula única capaz de emanar campo magnético), sento todo o campo magnético conhecido até então gerado por cargas elétricas em movimento.

Outra aplicação possível destes teoremas é a equação da variação de entropia em um volume de controle (ou sistema aberto). Esta pode ser descrita por:

${\displaystyle \bigtriangleup S=\iint {dQ \over T}+\sigma =\iint Q*{dA \over T}+\sigma }$

Onde S é a entropia do sistema Q é o calor líquido que o sistema troca com o meio, T é a temperatura, e  é a produção de entropia e Q* é o calor trocado por unidade de área. Isso pode ser interpretado como somatório o calor trocado por cada porção infinitesimal da área de fronteira do volume de controle dividido pela temperatura naquele ponto, sempre somado ao termo de produção. Se tivermos um sistema isolado, isto é, que não troca entropia como seu meio, apenas calor, então o termo de produção será sempre necessariamente positivo dado que a entropia pode ser criada mas jamais destruída, logo para tornar a equação verdadeira o fluxo de calor deverá ser sempre negativo; então um sistema isolado dessa forma sempre absorve mais calor do que ele rejeita.

Superfícies com bordo

Superfícies compactas com bordo são obtidas a partir de superfícies fechadas pela remoção de um número finito de discos abertos disjuntos. Uma superfície conexa e compacta com bordo é completamente classificada pela orientabilidade e característica de Euler da superfície fechada correspondente e pelo número de componentes de bordo (circunferências). O gênero de uma superfície compacta com bordo é definido como o gênero da superfície fechada associada obtida colando-se um disco em cada componente de bordo.^[4]

Essa classificação decorre diretamente do teorema para superfícies fechadas: remover k discos abertos de uma superfície fechada produz uma superfície compacta com k circunferências disjuntas como bordo. As posições exatas dos furos são irrelevantes, pois o grupo de homeomorfismos atua de forma k-transitiva sobre qualquer variedade conexa de dimensão maior ou igual a 2.

A única superfície compacta orientável de gênero g com k componentes de bordo é comumente denotada por ${\displaystyle \Sigma _{g,k},}$ notação frequente no estudo do grupo de classes de mapeamento.

Superfícies não compactas

As superfícies não compactas apresentam uma classificação mais complexa. Como exemplo elementar, uma superfície não compacta pode ser obtida removendo-se um conjunto finito de pontos de uma variedade fechada. Por outro lado, qualquer subconjunto aberto de uma superfície compacta é uma superfície não compacta; considere-se, por exemplo, o complementar de um conjunto de Cantor na esfera (a chamada superfície da árvore de Cantor). Contudo, nem toda superfície não compacta pode ser embutida como subconjunto de uma superfície compacta: contraexemplos clássicos incluem a escada de Jacó e a superfície do monstro do Lago Ness, que possuem gênero infinito.

Uma superfície não compacta M possui um espaço de fins E(M) não vazio, que descreve as formas pelas quais a superfície "se estende para o infinito". O espaço E(M) é sempre topologicamente equivalente a um subespaço fechado do conjunto de Cantor. A superfície M pode conter uma quantidade finita ou infinita enumerável N_h de alças, bem como uma quantidade finita ou infinita enumerável N_p de planos projetivos. Se ambos forem finitos, esses números e o tipo topológico do espaço de fins classificam M a menos de equivalência topológica. Se um deles for infinito, a classificação depende adicionalmente da forma como as famílias infinitas de alças e planos projetivos se acumulam sobre o espaço de fins.^[5]

Hipótese da segunda contabilidade

Se a hipótese de segunda contabilidade for removida da definição de superfície, passam a existir superfícies topológicas (necessariamente não compactas) que não possuem base enumerável para sua topologia. O exemplo mais simples é o produto cartesiano da reta longa com a reta dos números reais.

Outro exemplo que não requer o axioma da escolha para sua construção é a variedade de Prüfer, que pode ser descrita por equações analíticas explícitas. A variedade de Prüfer pode ser pensada como o semiplano superior dotado de uma "lingueta" adicional T_x para cada número real x.

Em 1925, Tibor Radó demonstrou que todas as superfícies de Riemann (isto é, variedades complexas unidimensionais) são necessariamente segundo-contáveis (teorema de Radó). Em contrapartida, se substituirmos os números reais pelos números complexos na construção da superfície de Prüfer, obtém-se uma variedade complexa bidimensional (que é uma 4-variedade real) desprovida de base enumerável.

Superfícies na geometria

Os poliedros, como a fronteira de um cubo, figuram entre as primeiras superfícies estudadas na geometria. É possível também definir superfícies suaves, nas quais cada ponto possui uma vizinhança difeomorfa a um aberto de E². Essa estrutura permite aplicar as ferramentas do cálculo diferencial e integral ao estudo de formas geométricas.

Duas superfícies suaves são difeomorfas se e somente se forem homeomorfas (propriedade que não se estende para variedades de dimensões superiores). Portanto, as superfícies fechadas são classificadas a menos de difeomorfismo exclusivamente por sua característica de Euler e por sua orientabilidade.

Superfícies suaves equipadas com uma métrica riemanniana são centrais na geometria diferencial. Uma métrica riemanniana define noções intrínsecas de geodésica, distância, ângulo e área sobre a superfície, originando a curvatura gaussiana K. A curvatura é uma grandeza geométrica rígida que varia ponto a ponto; contudo, o célebre teorema de Gauss-Bonnet estabelece que a integral da curvatura gaussiana sobre toda uma superfície fechada S é determinada unicamente por sua característica de Euler:

${\displaystyle \int _{S}K\;dA=2\pi \chi (S).}$

Outra manifestação geométrica fundamental ocorre no domínio complexo: uma variedade analítica complexa de dimensão um é uma superfície suave orientável, denominada superfície de Riemann. Toda curva algébrica complexa não singular é uma superfície de Riemann. Todas as superfícies compactas orientáveis podem ser realizadas como superfícies de Riemann. Assim, as superfícies de Riemann compactas são caracterizadas topologicamente pelo seu gênero (0, 1, 2, ...). Todavia, o gênero não determina univocamente a estrutura complexa: existem, por exemplo, infinitas superfícies de Riemann compactas não isomorfas de gênero 1 (as chamadas curvas elípticas).

As estruturas complexas sobre uma superfície orientável fechada correspondem a classes de equivalência conforme de métricas riemannianas. O teorema da uniformização de Riemann assegura que qualquer métrica riemanniana sobre uma superfície fechada orientável é conformemente equivalente a uma métrica com curvatura constante essencialmente única. Esse teorema é o ponto de partida da teoria de Teichmüller, que fornece uma classificação refinada dos espaços de módulos de superfícies de Riemann.

Uma superfície complexa é uma variedade complexa de dimensão 2 (e, portanto, uma 4-variedade real), não sendo uma superfície no sentido bidimensional tratado neste artigo.

Ver também

• Bordo (topologia)
• Quádrica
• Forma de volume
• Métrica de Poincaré
• Superfície romana
• Superfície de Boy
• Tetraemi-hexaedro

Referências

Bibliografia

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• Dyck, Walther (1888), «Beiträge zur Analysis situs I», Math. Ann., 32 (4): 459–512, doi:10.1007/bf01443580 
• Seifert, Herbert; Threlfall, William (1980), A textbook of topology, ISBN 0126348502, Pure and Applied Mathematics, 89, Academic Press 
• Ahlfors, Lars V.; Sario, Leo (1960), Riemann surfaces, Princeton Mathematical Series, 26, Princeton University Press 
• Maunder, C. R. F. (1996), Algebraic topology, ISBN 0486691314, Dover Publications 
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• Prasolov, V.V. (2006), Elements of combinatorial and differential topology, ISBN 0821838091, Graduate Studies in Mathematics, 74, American Mathematical Society 

Ligações externas

Outros projetos Wikimedia também contêm material sobre este tema:
	Definições no Wikcionário
	Imagens e media no Commons

• Classificação de superfícies compactas no Mathifold Project (em inglês)
• A classificação de superfícies e o teorema da curva de Jordan, página de Andrew Ranicki (em inglês)
• 2-variedades no Manifold Atlas (em inglês)