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Topologia (matemática)
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Topologia (do grego topos, "lugar", e logos, "estudo") é o ramo da matemática que estuda os espaços topológicos, sendo considerado como uma extensão da geometria.[1][2]
A palavra topologia é usada tanto para descrever essa área de estudos quanto para designar uma família de conjuntos (conjuntos abertos) utilizados para definir o conceito básico da teoria, o espaço topológico.[3]
A Topologia é uma área muito ampla, com muitas sub-áreas. A divisão mais básica é:
- Topologia Geral, que investiga conceitos como compacidade, conexidade, separabilidade;
- Topologia algébrica, que investiga conceitos como homotopia e homologia;[4]
- Topologia geométrica, que estuda as variedades e suas aplicações, fibrados incluindo a teoria dos nós.
Particularmente importantes no estudo dos espaços topológicos são as funções conhecidas como homeomorfismos. Trata-se de funções que preservam a "estrutura topológica" do seu espaço. Assim, se entre dois espaços existe um homeomorfismo, então esses espaços são topologicamente indistinguíveis.
História
A topologia, como uma disciplina matemática bem definida, originou-se no início do século XX, mas alguns resultados isolados podem ser rastreados há vários séculos.[5] Entre estes estão certas questões de geometria investigadas por Leonhard Euler. Seu artigo de 1736 sobre as Sete Pontes de Königsberg é considerado uma das primeiras aplicações práticas da topologia.[5] Em 14 de novembro de 1750, Euler escreveu a um amigo que havia percebido a importância das arestas de um poliedro. Isso levou à sua fórmula de poliedros, V − A + F = 2 (onde V, A e F indicam, respectivamente, o número de vértices, arestas e faces do poliedro). Algumas autoridades consideram esta análise como o primeiro teorema, sinalizando o nascimento da topologia.[6]
Contribuições adicionais foram feitas por Augustin-Louis Cauchy, Ludwig Schläfli, Johann Benedict Listing, Bernhard Riemann e Enrico Betti.[7] Listing introduziu o termo "Topologie" em Vorstudien zur Topologie, escrito em seu alemão nativo, em 1847, tendo usado a palavra por dez anos em correspondências antes de sua primeira aparição impressa.[8] A forma inglesa "topology" foi usada em 1883 no obituário de Listing na revista Nature para distinguir a "geometria qualitativa da geometria comum, na qual as relações quantitativas são tratadas principalmente".[9]
Seus trabalhos foram corrigidos, consolidados e grandemente estendidos por Henri Poincaré. Em 1895, ele publicou seu artigo seminal sobre Analysis Situs, que introduziu os conceitos agora conhecidos como homotopia e homologia, que hoje são considerados parte da topologia algébrica.[7]
| Variedade | Número de Euler | Orientabilidade | Números de Betti | Coeficiente de torção (1-dim) | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| b0 | b1 | b2 | ||||
| Esfera | 2 | Sim | 1 | 0 | 1 | nenhum |
| Toro | 0 | Sim | 1 | 2 | 1 | nenhum |
| Toro com 2 furos | −2 | Sim | 1 | 4 | 1 | nenhum |
| Toro com g furos (gênero g) | 2 − 2g | Sim | 1 | 2g | 1 | nenhum |
| Plano projetivo | 1 | Não | 1 | 0 | 0 | 2 |
| Garrafa de Klein | 0 | Não | 1 | 1 | 0 | 2 |
| Esfera com c cross-caps (c > 0) | 2 − c | Não | 1 | c − 1 | 0 | 2 |
| 2-variedade com g furos e c cross-caps (c > 0) | 2 − (2g + c) | Não | 1 | (2g + c) − 1 | 0 | 2 |
O desenvolvimento da topologia no século XX foi marcado por avanços significativos tanto na teoria fundamental quanto em sua aplicação a outros campos da matemática. Unificando o trabalho sobre espaços funcionais de Georg Cantor, Vito Volterra, Cesare Arzelà, Jacques Hadamard, Giulio Ascoli e outros, Maurice Fréchet introduziu o espaço métrico em 1906.[10] Um espaço métrico é agora considerado um caso especial de um espaço topológico geral, com qualquer espaço topológico dado podendo potencialmente dar origem a muitos espaços métricos distintos. Em 1914, Felix Hausdorff cunhou o termo "espaço topológico" e definiu o que hoje é chamado de Espaço de Hausdorff.[11] Atualmente, um espaço topológico é uma leve generalização dos espaços de Hausdorff, dada em 1922 por Kazimierz Kuratowski.[12]
A topologia moderna depende fortemente das ideias da teoria dos conjuntos, desenvolvida por Georg Cantor no final do século XIX. Além de estabelecer as ideias básicas da teoria dos conjuntos, Cantor considerou conjuntos de pontos no espaço euclidiano como parte de seu estudo das séries de Fourier. Para desenvolvimentos posteriores, veja topologia geral e topologia algébrica.
O Prêmio Abel de 2022 foi concedido a Dennis Sullivan "pelas suas contribuições inovadoras para a topologia no seu sentido mais amplo e, em particular, para os seus aspetos algébricos, geométricos e dinâmicos".[13]
Motivação
A percepção motivadora por trás da topologia é que alguns problemas geométricos dependem não da forma exata dos objetos envolvidos, mas sim da maneira como eles são montados. Por exemplo, o quadrado e o círculo possuem muitas propriedades em comum: ambos são objetos unidimensionais (do ponto de vista topológico) e ambos separam o plano em duas partes: a parte de dentro e a parte de fora.
Em um dos primeiros artigos sobre topologia, Leonhard Euler demonstrou que era impossível encontrar uma rota pela cidade de Königsberg (atual Caliningrado) que cruzasse cada uma de suas sete pontes exatamente uma vez.[14] Este resultado não dependia do comprimento das pontes ou da distância entre elas, mas apenas de propriedades de conectividade: quais pontes conectam quais ilhas ou margens de rios. Este problema das Sete Pontes de Königsberg deu origem ao ramo da matemática conhecido como Teoria dos grafos.[15]
Da mesma forma, o Teorema da bola cabeluda da topologia algébrica afirma que "não se pode pentear o cabelo de uma bola cabeluda de forma lisa sem criar um redemoinho".[16] Este fato é imediatamente convincente para a maioria das pessoas, embora elas possam não reconhecer o enunciado mais formal do teorema: que não existe um campo vetorial tangente contínuo que nunca se anula em uma esfera. Assim como nas Pontes de Königsberg, o resultado não depende da forma da esfera; ele se aplica a qualquer tipo de "massa" suave, desde que não tenha buracos.
Para lidar com esses problemas que não dependem da forma exata dos objetos, deve-se ter clareza sobre quais propriedades esses problemas de fato dependem. Dessa necessidade surge a noção de homeomorfismo. A impossibilidade de cruzar cada ponte apenas uma vez aplica-se a qualquer arranjo de pontes homeomorfo ao de Königsberg, e o teorema da bola cabeluda aplica-se a qualquer espaço homeomorfo a uma esfera.
Modelo de cerâmica por Keenan Crane e Henry Segerman.
Intuitivamente, dois espaços são homeomorfos se um puder ser deformado no outro sem cortes ou colagens. Um exemplo famoso, conhecido como o "Café da Manhã do Topólogo", é que um topólogo não consegue distinguir uma caneca de café de uma rosquinha (donuts).[17] Um toro maleável (com formato de rosquinha) pode ser remodelado em uma caneca de café criando uma depressão e ampliando-a progressivamente, enquanto o buraco central é reduzido até se tornar a alça da caneca.[18]
O homeomorfismo pode ser considerado a equivalência topológica mais básica. Outra é a equivalência homotópica. Esta é mais difícil de descrever sem entrar em detalhes técnicos, mas a noção essencial é que dois objetos são homotopicamente equivalentes se ambos resultarem do "esmagamento" de algum objeto maior.
Conceitos
Topologias em conjuntos
O termo "topologia" também se refere a uma ideia matemática específica, central para a área da matemática chamada topologia. Informalmente, uma topologia descreve como os elementos de um conjunto se relacionam espacialmente entre si. O mesmo conjunto pode ter topologias diferentes. Por exemplo, a reta real, o plano complexo e o Conjunto de Cantor podem ser pensados como o mesmo conjunto com topologias diferentes.
Formalmente, seja X um conjunto e seja τ uma família de subconjuntos de X. Então, τ é chamada de uma topologia em X se:[19]
- Tanto o conjunto vazio quanto X são elementos de τ.
- Qualquer união de elementos de τ é um elemento de τ.
- Qualquer interseção de um número finito de elementos de τ é um elemento de τ.
Se τ é uma topologia em X, então o par (X, τ) é chamado de espaço topológico. A notação Xτ pode ser usada para denotar um conjunto X dotado da topologia particular τ. Por definição, toda topologia é um sistema-π.
Os membros de τ são chamados de conjuntos abertos em X. Diz-se que um subconjunto de X é fechado se o seu complemento estiver em τ (ou seja, seu complemento é aberto). Um subconjunto de X pode ser aberto, fechado, ambos (um conjunto aberto e fechado ou clopen) ou nenhum dos dois. O conjunto vazio e o próprio X são sempre, simultaneamente, abertos e fechados. Um subconjunto aberto de X que contém um ponto x é chamado de vizinhança aberta de x.
Funções contínuas e homeomorfismos
Uma função ou aplicação de um espaço topológico para outro é chamada de contínua se a pré-imagem de qualquer conjunto aberto for aberta. Se a função mapeia os números reais para os números reais (ambos os espaços com a topologia padrão), então esta definição de continuidade é equivalente à definição de continuidade no cálculo. Se uma função contínua é injetora e sobrejetora (bijetora), e se a inversa da função também é contínua, então a função é chamada de homeomorfismo e o domínio da função é dito ser homeomorfo ao contradomínio. Outra forma de dizer isto é que a função tem uma extensão natural para a topologia. Se dois espaços são homeomorfos, eles possuem propriedades topológicas idênticas e são considerados topologicamente iguais. O cubo e a esfera são homeomorfo, assim como a caneca de café e a rosquinha. No entanto, a esfera não é homeomorfa à rosquinha.
Variedades
Embora os espaços topológicos possam ser extremamente variados e exóticos, muitas áreas da topologia concentram-se na classe mais familiar de espaços conhecidos como variedades. Uma variedade é um espaço topológico que se assemelha ao espaço euclidiano próximo a cada ponto. Mais precisamente, cada ponto de uma variedade n-dimensional possui uma vizinhança que é homeomorfa ao espaço euclidiano de dimensão n. Linhas e círculos, mas não curvas em formato de oito, são variedades unidimensionais. Variedades bidimensionais também são chamadas de superfícies. Exemplos incluem o plano, a esfera e o toro, que podem todos ser realizados em três dimensões sem autointerseção, e a Garrafa de Klein e o Plano projetivo real, que não podem.
Subcampos
Topologia geral
A topologia geral é o ramo da topologia que lida com as definições e construções básicas da teoria dos conjuntos usadas na área.[20][21] É o alicerce de quase todos os outros ramos da topologia, incluindo a topologia diferencial, a topologia geométrica e a topologia algébrica. Outro nome para a topologia geral é topologia de conjuntos (point-set topology).
O objeto básico de estudo são os espaços topológicos, que são conjuntos equipados com uma topologia, ou seja, uma família de subconjuntos, chamados de conjuntos abertos, que é fechada sob interseções finitas e uniões (finitas ou infinitas). Os conceitos fundamentais da topologia, como continuidade, compacidade e conexidade, podem ser definidos em termos de conjuntos abertos. Intuitivamente, funções contínuas levam pontos próximos a pontos próximos. Conjuntos compactos são aqueles que podem ser cobertos por um número finito de conjuntos de tamanho arbitrariamente pequeno. Conjuntos conexos são conjuntos que não podem ser divididos em dois pedaços que estão "longe" um do outro. As palavras próximo, arbitrariamente pequeno e longe podem todas se tornar precisas através do uso de conjuntos abertos. Diversas topologias podem ser definidas em um dado conjunto. Mudar uma topologia consiste em mudar a coleção de conjuntos abertos, o que altera quais funções são contínuas e quais subconjuntos são compactos ou conexos.
Espaços métricos são uma classe importante de espaços topológicos onde a distância entre quaisquer dois pontos é definida por uma função chamada métrica. Em um espaço métrico, um conjunto aberto é uma união de discos abertos, onde um disco aberto de raio r centrado em x é o conjunto de todos os pontos cuja distância até x é menor que r. Muitos espaços comuns são espaços topológicos cuja topologia pode ser definida por uma métrica. É o caso da reta real, do plano complexo, de espaços vetoriais normados reais e complexos e de espaços euclidianos. A existência de uma métrica simplifica muitas demonstrações.
Topologia algébrica
A topologia algébrica é um ramo da matemática que usa ferramentas da álgebra para estudar espaços topológicos.[22] O objetivo básico é encontrar invariantes algébricos que classifiquem espaços topológicos sob homeomorfismo ou, mais comumente, sob equivalência de homotopia.
Os mais importantes desses invariantes são os grupos de homotopia, a homologia e a cohomologia.
Embora a topologia algébrica utilize primordialmente a álgebra para estudar problemas topológicos, às vezes também é possível usar a topologia para resolver problemas algébricos. A topologia algébrica, por exemplo, permite uma demonstração conveniente de que qualquer subgrupo de um grupo livre é também um grupo livre.
Topologia diferencial
A topologia diferencial é a área que lida com funções diferenciáveis em variedades diferenciáveis.[23] Está intimamente relacionada à geometria diferencial e, juntas, compõem a teoria geométrica das variedades diferenciáveis.
Mais especificamente, a topologia diferencial considera as propriedades e estruturas que requerem apenas uma estrutura suave em uma variedade para serem definidas. Variedades suaves são "mais maleáveis" do que variedades com estruturas geométricas extras, que podem atuar como obstruções a certos tipos de equivalências e deformações que existem na topologia diferencial. Por exemplo, o volume e a curvatura de Riemann são invariantes que podem distinguir diferentes estruturas geométricas na mesma variedade suave — ou seja, pode-se "achatar" suavemente certas variedades, mas isso pode exigir a distorção do espaço e afetar a curvatura ou o volume.
Topologia geométrica
A topologia geométrica é um ramo da topologia que se concentra principalmente em variedades de baixa dimensão (ou seja, espaços de dimensões 2, 3 e 4) e sua interação com a geometria, mas também inclui topologia de dimensões superiores.[24] Exemplos de tópicos em topologia geométrica são a orientabilidade, decomposições de alças (handle decompositions), achatamento local e o teorema de Schönflies planar e de dimensões superiores.
Na topologia de dimensões superiores, as classes características são um invariante básico e a teoria de cirurgia é uma ferramenta fundamental.
A topologia de baixa dimensão é fortemente geométrica, como refletido no Teorema da uniformização em 2 dimensões — onde cada superfície admite uma métrica de curvatura constante; geometricamente, ela possui uma de três geometrias possíveis: curvatura positiva/esférica, curvatura zero/plana e curvatura negativa/hiperbólica — e na Conjectura de geometrização (hoje teorema) em 3 dimensões — onde cada variedade de dimensão 3 pode ser cortada em pedaços, cada um possuindo uma de oito geometrias possíveis.
A topologia de dimensão 2 pode ser estudada como geometria complexa em uma variável (as superfícies de Riemann são curvas complexas). Pelo teorema da uniformização, toda classe conforme de métricas é equivalente a uma única classe complexa. Já a topologia de dimensão 4 pode ser estudada do ponto de vista da geometria complexa em duas variáveis (superfícies complexas), embora nem toda variedade de dimensão 4 admita uma estrutura complexa.
Generalizações
Ocasionalmente, é necessário usar as ferramentas da topologia quando um "conjunto de pontos" não está disponível. Na topologia sem pontos (pointless topology), considera-se, em vez disso, o reticulado de conjuntos abertos como a noção básica da teoria,[25] enquanto as topologias de Grothendieck são estruturas definidas em categorias arbitrárias que permitem a definição de feixes nessas categorias e, com isso, a definição de teorias de cohomologia geral.[26]
Aplicações
Biologia
A topologia tem sido usada para estudar vários sistemas biológicos, incluindo moléculas e nanoestruturas (por exemplo, objetos membranosos). Em particular, a topologia de circuitos e a teoria dos nós têm sido amplamente aplicadas para classificar e comparar a topologia de proteínas dobradas e ácidos nucleicos. A topologia de circuitos classifica cadeias moleculares dobradas com base no arranjo emparelhado de seus contatos intracadeia e cruzamentos de cadeia. A teoria dos nós, um ramo da topologia, é usada na biologia para estudar os efeitos de certas enzimas no DNA. Essas enzimas cortam, torcem e reconectam o DNA, causando nós com efeitos observáveis, como uma eletroforese mais lenta.[27]
Ciência da computação
A análise topológica de dados utiliza técnicas da topologia algébrica para determinar a estrutura em larga escala de um conjunto (por exemplo, determinando se uma nuvem de pontos é esférica ou toroidal). O principal método utilizado pela análise topológica de dados consiste em:
- Substituir um conjunto de pontos de dados por uma família de complexos simpliciais, indexados por um parâmetro de proximidade.
- Analisar esses complexos topológicos via topologia algébrica – especificamente, via a teoria da homologia persistente.[28]
- Codificar a homologia persistente de um conjunto de dados na forma de uma versão parametrizada de um número de Betti, que é chamada de "código de barras" (barcode).[28]
Vários ramos da semântica de linguagens de programação, como a teoria dos domínios, são formalizados usando topologia. Neste contexto, Steve Vickers, baseando-se no trabalho de Samson Abramsky e Michael B. Smyth, caracteriza espaços topológicos como álgebras de Boolean ou de Heyting sobre conjuntos abertos, que são caracterizados como propriedades semidecidíveis (equivalentemente, finitamente observáveis).[29]
Física
A topologia é relevante para a física em áreas como a física da matéria condensada,[30] teoria quântica de campos, computação quântica e cosmologia física.
A dependência topológica das propriedades mecânicas em sólidos é de interesse nas disciplinas de engenharia mecânica e ciência dos materiais. As propriedades elétricas e mecânicas dependem do arranjo e das estruturas de rede de moléculas e unidades elementares nos materiais.[31] A resistência à compressão de topologias amassadas (crumpled) é estudada em tentativas de compreender a alta relação resistência/peso de tais estruturas, que são compostas majoritariamente por espaço vazio.[32] A topologia é ainda significativa na mecânica de contato, onde a dependência da rigidez e do atrito em relação à dimensão fractal das estruturas de superfície é objeto de interesse com aplicações na física de múltiplos corpos.
Uma teoria quântica de campos topológica (ou teoria de campo topológica ou TQFT) é uma teoria quântica de campos que calcula invariantes topológicos. Embora as TQFTs tenham sido inventadas por físicos, elas também são de interesse matemático, estando relacionadas, entre outras coisas, à teoria dos nós, à teoria das 4-variedades na topologia algébrica e à teoria dos espaços de módulos na geometria algébrica. Donaldson, Jones, Witten e Kontsevich ganharam Medalhas Fields por trabalhos relacionados à teoria de campo topológica.
A classificação topológica das variedades de Calabi-Yau tem implicações importantes na teoria das cordas, pois diferentes variedades podem sustentar diferentes tipos de cordas.[33]
Em computadores quânticos topológicos, os qubits são armazenados em propriedades topológicas, que são por definição invariantes em relação a homotopias.[34]
Na cosmologia, a topologia pode ser usada para descrever a forma geral do universo.[35] Esta área de pesquisa é comumente conhecida como topologia do espaço-tempo.
Na matéria condensada, uma aplicação relevante para a física topológica vem da possibilidade de obter uma corrente unidirecional, que é uma corrente protegida contra retroespalhamento (backscattering). Foi descoberta pela primeira vez na eletrônica com o famoso Efeito Hall quântico, e depois generalizada em outras áreas da física, por exemplo na fotônica.[36] David Thouless, Duncan Haldane e Michael Kosterlitz receberam o Prêmio Nobel de Física de 2016 por seus trabalhos em ordens topológicas.[37]
Robótica
As possíveis posições de um robô podem ser descritas por uma variedade chamada espaço de configuração. Na área de planejamento de movimento, encontram-se caminhos entre dois pontos no espaço de configuração. Esses caminhos representam um movimento das juntas do robô e de outras partes na pose desejada.[38]
Jogos e quebra-cabeças
Quebra-cabeças de desembaraço baseiam-se em aspectos topológicos das formas e componentes do quebra-cabeça.[39]
Artes têxteis
Para criar uma união contínua de peças em uma construção modular, é necessário criar um caminho ininterrupto em uma ordem que envolva cada peça e atravesse cada aresta apenas uma vez. Este processo é uma aplicação do Caminho euleriano.[40]
Recursos e pesquisa
Principais periódicos
- Geometry & Topology – uma revista de pesquisa matemática focada em geometria e topologia, e suas aplicações, publicada pela Mathematical Sciences Publishers.
- Journal of Topology – uma revista científica que publica artigos de alta qualidade e relevância em topologia, geometria e áreas adjacentes da matemática.
Principais livros
- Munkres, James R. (2000). Topology (2.ª ed.). Upper Saddle River, Nova Jersey: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9
- Willard, Stephen (2016). General topology. Dover Books on Mathematics. Mineola, Nova York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7
- Armstrong, M. A. (1983). Basic topology. Undergraduate Texts in Mathematics. Nova York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90839-7
- Kelley, John L. (1979). General Topology. Springer. ISBN 0-387-90125-6
Ver também
Referências
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Leitura adicional
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- Kelley, John L. (1975). General Topology. Springer-Verlag.
- Brown, Ronald (2006). Topology and Groupoids. [S.l.]: Booksurge. ISBN 978-1-4196-2722-4 (Fornece um relato geométrico bem fundamentado da topologia geral e mostra o uso de grupoides na discussão do Teorema de Van Kampen, espaços de recobrimento e espaços de órbita.)
- Wacław Sierpiński, General Topology, Dover Publications, 2000, ISBN 0-486-41148-6.
- Pickover, Clifford A. (2006). The Möbius Strip: Dr. August Möbius's Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology. [S.l.]: Thunder's Mouth Press. ISBN 978-1-5602-5826-1 (Fornece uma introdução popular à topologia e geometria.)
- Gemignani, Michael C. (1990). Elementary Topology 2.ª ed. [S.l.]: Dover Publications Inc. ISBN 978-0-486-66522-1 Parâmetro desconhecido
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