Números regulares são números que dividem exatamente potências de 60 (ou, equivalentemente, potências de 30). Equivalentemente, são os números cujos únicos divisores primos são 2, 3 e 5. Como exemplo, 60² = 3600 = 48 × 75, logo, como divisores de uma potência de 60, tanto 48 quanto 75 são regulares.

Estes números surgem em diversas áreas da matemática e nas suas aplicações, e têm diferentes nomes provenientes das suas diferentes áreas de estudo.

• Na teoria dos números, estes números são chamados de 5-suaves, porque podem ser caracterizados por terem apenas 2, 3 ou 5 como os seus fatores primos. Este é um caso específico dos números k-suaves mais gerais, os números que não têm nenhum fator primo maior que k.
• No estudo da matemática babilônica, os divisores das potências de 60 são chamados de números regulares ou números sexagesimais regulares, e são de grande importância nesta área devido ao sistema de numeração sexagesimal (base 60) que os babilônios usavam para escrever os seus números, e que era central para a matemática babilônica.
• Na teoria musical, os números regulares ocorrem nas razões de tons na entonação justa de limite 5. Em conexão com a teoria musical e teorias relacionadas à arquitetura, estes números têm sido chamados de números inteiros harmônicos.
• Na ciência da computação, os números regulares são frequentemente chamados de números de Hamming, em homenagem a Richard Hamming, que propôs o problema de encontrar algoritmos de computador para gerar estes números em ordem crescente. Este problema tem sido usado como um caso de teste para a programação funcional.

Teoria dos números

Formalmente, um número regular é um inteiro da forma ${\displaystyle 2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}}$, para inteiros não negativos ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$ e ${\displaystyle k}$. Tal número é um divisor de ${\displaystyle 60^{\max(\lceil i\,/2\rceil ,j,k)}}$. Os números regulares também são chamados de 5-suaves, indicando que o seu maior fator primo é no máximo 5.^[2] De forma mais geral, um número k-suave é um número cujo maior fator primo é no máximo k.^[3]

Os primeiros números regulares são^[2]

Várias outras sequências na On-Line Encyclopedia of Integer Sequences têm definições envolvendo números 5-suaves.^[4]

Embora os números regulares pareçam densos no intervalo de 1 a 60, eles são bastante esparsos entre os inteiros maiores. Um número regular ${\displaystyle n=2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}}$ é menor ou igual a algum limite ${\displaystyle N}$ se e somente se o ponto ${\displaystyle (i,j,k)}$ pertence ao tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo plano $${\displaystyle i\ln 2+j\ln 3+k\ln 5\leq \ln N,}$$ como pode ser visto tirando os logaritmos de ambos os lados da desigualdade ${\displaystyle 2^{i}\cdot 3^{j}\cdot 5^{k}\leq N}$. Portanto, o número de números regulares que são no máximo ${\displaystyle N}$ pode ser estimado como o volume deste tetraedro, que é $${\displaystyle {\frac {\log _{2}N\,\log _{3}N\,\log _{5}N}{6}}.}$$ Ainda mais precisamente, usando a notação grande-O, o número de números regulares até ${\displaystyle N}$ é $${\displaystyle {\frac {\left(\ln(N{\sqrt {30}})\right)^{3}}{6\ln 2\ln 3\ln 5}}+O(\log N),}$$ e tem sido conjecturado que o termo de erro desta aproximação é, na verdade, ${\displaystyle O(\log \log N)}$.^[2] Uma fórmula semelhante para o número de números 3-suaves até ${\displaystyle N}$ é dada por Srinivasa Ramanujan na sua primeira carta para G. H. Hardy.^[5]

Matemática babilônica

Na notação sexagesimal babilônica, o recíproco de um número regular tem uma representação finita. Se ${\displaystyle n}$ divide ${\displaystyle 60^{k}}$, então a representação sexagesimal de ${\displaystyle 1/n}$ é apenas a de ${\displaystyle 60^{k}/n}$, deslocada por um certo número de casas. Isto permite uma divisão fácil por estes números: para dividir por ${\displaystyle n}$, multiplica-se por ${\displaystyle 1/n}$ e depois deslocam-se as casas.^[6]

Por exemplo, considere a divisão pelo número regular 54 = 2¹3³. 54 é um divisor de 60³, e 60³/54 = 4000, de modo que a divisão por 54 em sexagesimal pode ser realizada multiplicando-se por 4000 e deslocando três casas. Em sexagesimal 4000 = 1×3600 + 6×60 + 40×1, ou (como listado por Joyce) 1:6:40. Assim, 1/54, em sexagesimal, é 1/60 + 6/60² + 40/60³, também denotado 1:6:40, uma vez que as convenções notacionais babilônicas não especificavam a potência do dígito inicial. Inversamente 1/4000 = 54/60³, de modo que a divisão por 1:6:40 = 4000 pode ser realizada, em vez disso, multiplicando por 54 e deslocando três casas sexagesimais.

Os babilônios usavam tabelas de recíprocos de números regulares, algumas das quais ainda sobrevivem.^[7] Estas tabelas existiram de forma relativamente inalterada durante os tempos babilônicos.^[6] Uma tabuleta dos tempos selêucidas, feita por alguém chamado Inaqibıt-Anu, contém os recíprocos de 136 dos 231 números regulares de seis casas cuja primeira casa é 1 ou 2, listados por ordem. Ela também inclui recíprocos de alguns números de mais de seis casas, como 3²³ (2,1,4,8,3,0,27 em sexagesimal), cujo recíproco tem 17 dígitos sexagesimais. Observando a dificuldade de calcular e ordenar estes números, Donald Knuth em 1972 saudou Inaqibıt-Anu como "o primeiro homem na história a resolver um problema computacional que leva mais de um segundo de tempo num computador eletrônico moderno!" (Duas tabelas também são conhecidas por dar aproximações de recíprocos de números não regulares, uma das quais dá recíprocos para todos os números de 56 a 80).^[8][9]

Embora a principal razão para preferir números regulares a outros números envolva a finitude dos seus recíprocos, alguns cálculos babilônicos além de recíprocos também envolviam números regulares. Por exemplo, tabelas de quadrados regulares foram encontradas^[6] e a tabuleta quebrada Plimpton 322 foi interpretada por Neugebauer como listando ternos pitagóricos ${\displaystyle (p^{2}-q^{2},\,2pq,\,p^{2}+q^{2})}$ gerados por ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$, ambos regulares e menores que 60.^[10] Fowler e Robson discutem o cálculo de raízes quadradas, tal como a forma como os babilônios encontraram uma aproximação para a raiz quadrada de 2, talvez usando aproximações de números regulares de frações como 17/12.^[9]

Teoria musical

Na teoria musical, a entonação justa da escala diatônica envolve números regulares: as alturas numa única oitava desta escala têm frequências proporcionais aos números na sequência 24, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48 de números regulares quase consecutivos.^[11] Assim, para um instrumento com esta afinação, todas as alturas são harmônicos de números regulares de uma única frequência fundamental. Esta escala é chamada de afinação de limite 5, o que significa que o intervalo entre quaisquer duas alturas pode ser descrito como um produto 2ⁱ3^j5^k de potências dos números primos até 5, ou equivalentemente como uma razão de números regulares.^[12]

Escalas musicais de limite 5 diferentes da escala diatônica familiar da música ocidental também têm sido usadas, tanto em músicas tradicionais de outras culturas quanto na música experimental moderna: Honingh & Bod (2005) listam 31 diferentes escalas de limite 5, extraídas de um banco de dados maior de escalas musicais. Cada uma destas 31 escalas compartilha com a entonação justa diatônica a propriedade de que todos os intervalos são razões de números regulares.^[12] O Tonnetz de Euler fornece uma representação gráfica conveniente das alturas em qualquer afinação de limite 5, fatorando as relações de oitava (potências de dois) para que os valores restantes formem uma grade plana.^[12] Alguns teóricos musicais afirmaram de forma mais geral que os números regulares são fundamentais para a própria música tonal, e que as razões de altura baseadas em primos maiores que 5 não podem ser consonantes.^[13] No entanto, o temperamento igual dos pianos modernos não é uma afinação de limite 5,^[14] e alguns compositores modernos têm experimentado afinações baseadas em primos maiores que cinco.^[15]

Em conexão com a aplicação de números regulares à teoria musical, é de interesse encontrar pares de números regulares que diferem em um. Existem exatamente dez pares deste tipo ${\displaystyle (x,x+1)}$ e cada par define uma razão superparticular ${\displaystyle {\tfrac {x+1}{x}}}$ que é significativa como um intervalo musical. Estes intervalos são 2/1 (a oitava), 3/2 (a quinta justa), 4/3 (a quarta justa), 5/4 (a terça maior justa), 6/5 (a terça menor justa), 9/8 (o tom maior justo), 10/9 (o tom menor justo), 16/15 (o semitom diatônico justo), 25/24 (o semitom cromático justo) e 81/80 (a coma sintônica).^[16]

Na teoria renascentista da harmonia universal, as razões musicais eram usadas noutras aplicações, incluindo na arquitetura de edifícios. Em conexão com a análise destas razões musicais e arquitetônicas compartilhadas, por exemplo na arquitetura de Palladio, os números regulares também têm sido chamados de números inteiros harmônicos.^[17]

Algoritmos

Os algoritmos para calcular os números regulares por ordem crescente foram popularizados por Edsger Dijkstra.  ([[#CITEREF|]]) atribui a Hamming o problema de construir a sequência infinita ascendente de todos os números 5-suaves; este problema é agora conhecido como problema de Hamming, e os números assim gerados também são chamados de números de Hamming. As ideias de Dijkstra para calcular estes números são as seguintes:

• A sequência de números de Hamming começa com o número 1.
• Os valores restantes na sequência são da forma ${\displaystyle 2h}$, ${\displaystyle 3h}$ e ${\displaystyle 5h}$, onde ${\displaystyle h}$ é qualquer número de Hamming.
• Portanto, a sequência ${\displaystyle H}$ pode ser gerada produzindo o valor 1 e depois mesclando as sequências ${\displaystyle 2H}$, ${\displaystyle 3H}$ e ${\displaystyle 5H}$.

Este algoritmo é frequentemente usado para demonstrar o poder de uma linguagem de programação funcional de avaliação preguiçosa, porque implementações eficientes concorrentes (implicitamente), usando um número constante de operações aritméticas por valor gerado, são facilmente construídas como descrito acima. Implementações sequenciais funcionais estritas ou de programação imperativa similarmente eficientes também são possíveis, enquanto soluções gerativas concorrentes explicitamente podem ser não triviais.^[18]

Na linguagem de programação Python, o código funcional preguiçoso para gerar números regulares é usado como um dos testes integrados para a correção da implementação da linguagem.^[19]

Um problema relacionado, discutido por Knuth (1972), é listar todos os números sexagesimais de ${\displaystyle k}$ dígitos por ordem crescente (ver #Matemática babilônica acima). Em termos algorítmicos, isto é equivalente a gerar (por ordem) a subsequência da sequência infinita de números regulares, variando de ${\displaystyle 60^{k}}$ a ${\displaystyle 60^{k+1}}$.^[8] Veja Gingerich (1965) para uma descrição inicial de um código de computador que gera estes números fora de ordem e depois os classifica;^[20] Knuth descreve um algoritmo ad hoc, que ele atribui a Bruins (1970), para gerar os números de seis dígitos mais rapidamente, mas que não generaliza de forma direta para valores maiores de ${\displaystyle k}$.^[8] Eppstein (2007) descreve um algoritmo para calcular tabelas deste tipo em tempo linear para valores arbitrários de ${\displaystyle k}$.^[21]

Outras aplicações

Heninger, Rains & Sloane (2006) mostram que, quando ${\displaystyle n}$ é um número regular e é divisível por 8, a função geradora de um reticulado unimodular par extremal ${\displaystyle n}$-dimensional é a ${\displaystyle n}$-ésima potência de um polinômio.^[22]

Assim como noutras classes de números suaves, os números regulares são importantes como tamanhos de problemas em programas de computador para realizar a transformada rápida de Fourier, uma técnica para analisar as frequências dominantes de sinais em dados variantes no tempo. Por exemplo, o método de Temperton (1992) exige que o comprimento da transformada seja um número regular.^[23]

O Livro VIII de A República de Platão envolve uma alegoria de casamento centrada no número altamente regular 60⁴ = 12.960.000 e nos seus divisores (ver Número de Platão). Acadêmicos posteriores invocaram tanto a matemática babilônica quanto a teoria musical numa tentativa de explicar essa passagem.^[24]

Certas espécies de bambus liberam grandes quantidades de sementes de forma síncrona (um processo chamado masting ou mastigação sincronizada) em intervalos que foram estimados como números regulares de anos, com diferentes intervalos para diferentes espécies, incluindo exemplos com intervalos de 10, 15, 16, 30, 32, 48, 60 e 120 anos.^[25] Formulou-se a hipótese de que o mecanismo biológico para temporizar e sincronizar este processo se presta aos números suaves e, particularmente neste caso, aos números 5-suaves. Embora os intervalos de maturação estimados para algumas outras espécies de bambu não sejam números regulares de anos, isto pode ser explicável como erro de medição.^[25]

Notas

Referências

Ligações externas

• Tabela de recíprocos de números regulares até 3600 do site do Professor David E. Joyce, Clark University.
• RosettaCode Geração de números de Hamming em ~ 50 linguagens de programação