Nota: Para a sequência 1, 5, 9, 13, ..., veja [[${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$]].

Na teoria dos números, um ramo da matemática, um número de Hilbert é um inteiro positivo da forma 4n + 1 (Flannery & Flannery (2000, p. 35)). Os números de Hilbert receberam o nome em homenagem a David Hilbert. A sequência de números de Hilbert começa com 1, 5, 9, 13, 17, ... (sequência A016813 na OEIS))

Propriedades

• A sequência de números de Hilbert é uma progressão aritmética com ${\displaystyle a_{1}=1,d=4}$, o que significa que os números de Hilbert seguem a relação de recorrência ${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+4}$.
• A soma de uma quantidade de números de Hilbert que também seja um número de Hilbert (1 número, 5 números, 9 números, etc.) também resulta num número de Hilbert.

Primos de Hilbert

Um primo de Hilbert é um número de Hilbert que não é divisível por um número de Hilbert menor (com exceção do 1). A sequência de primos de Hilbert começa com:

5, 9, 13, 17, 21, 29, 33, 37, 41, 49, ... (sequência A057948 na OEIS).

Um primo de Hilbert não é necessariamente um número primo; por exemplo, 21 é um número composto, uma vez que 21 = 3 ⋅ 7. No entanto, 21 é um primo de Hilbert, uma vez que nem 3 nem 7 (os únicos fatores de 21 além de 1 e ele mesmo) são números de Hilbert. Segue-se da multiplicação módulo 4 que um primo de Hilbert é um número primo da forma 4n + 1 (chamado de primo pitagórico), ou um semiprimo da forma (4a + 3) ⋅ (4b + 3).^[1][2][3][4]

Referências

Bibliografia

• Flannery, S.; Flannery, D. (2000). In Code: A Mathematical Journey. [S.l.]: Profile Books 

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Hilbert Number». MathWorld (em inglês)