Nota: Para outros significados, veja Atrator (desambiguação).

No campo matemático dos sistemas dinâmicos, um atrator é um conjunto de estados para o qual um sistema tende a evoluir,^[2] para uma ampla variedade de condições iniciais do sistema. Valores do sistema que se aproximam o suficiente dos valores do atrator permanecem próximos mesmo quando ligeiramente perturbados.

Em sistemas de dimensão finita, a variável em evolução pode ser representada algebricamente como um vetor n-dimensional. O atrator é uma região no espaço n-dimensional. Em sistemas físicos, as n dimensões podem ser, por exemplo, duas ou três coordenadas posicionais para cada uma de uma ou mais entidades físicas; em sistemas econômicos, podem ser variáveis separadas, como a taxa de inflação e a taxa de desemprego.

Se a variável em evolução é bidimensional ou tridimensional, o atrator do processo dinâmico pode ser representado geometricamente em duas ou três dimensões (como, por exemplo, no caso tridimensional retratado à direita). Um atrator pode ser um ponto, um conjunto finito de pontos, uma curva, uma variedade, ou até mesmo um conjunto complicado com uma estrutura fractal conhecida como atrator estranho (veja atrator estranho abaixo). Se a variável é um escalar, o atrator é um subconjunto da reta dos números reais. Descrever os atratores de sistemas dinâmicos caóticos tem sido uma das conquistas da teoria do caos.

Uma trajetória do sistema dinâmico no atrator não precisa satisfazer quaisquer restrições especiais, exceto permanecer no atrator, para frente no tempo. A trajetória pode ser periódica ou caótica. Se um conjunto de pontos é periódico ou caótico, mas o fluxo na vizinhança é para longe do conjunto, o conjunto não é um atrator, mas é chamado de repulsor (ou repulsor).

Motivação dos atratores

Um sistema dinâmico é geralmente descrito por uma ou mais equações diferenciais ou de diferenças. As equações de um dado sistema dinâmico especificam seu comportamento em qualquer curto período de tempo. Para determinar o comportamento do sistema por um período mais longo, é frequentemente necessário integrar as equações, seja por meios analíticos ou através de iteração, muitas vezes com o auxílio de computadores.

Sistemas dinâmicos no mundo físico tendem a surgir de sistemas dissipativos: se não fosse por alguma força motriz, o movimento cessaria. (A dissipação pode vir de fricção interna, perdas termodinâmicas ou perda de material, entre muitas causas.) A dissipação e a força motriz tendem a se equilibrar, eliminando transientes iniciais e estabilizando o sistema em seu comportamento típico. O subconjunto do espaço de fases do sistema dinâmico correspondente ao comportamento típico é o atrator, também conhecido como seção atratora ou atrator.

Conjuntos invariantes e conjuntos limites são semelhantes ao conceito de atrator. Um conjunto invariante é um conjunto que evolui para si mesmo sob a dinâmica.^[3] Atratores podem conter conjuntos invariantes. Um conjunto limite é um conjunto de pontos tal que existe algum estado inicial que acaba arbitrariamente próximo do conjunto limite (ou seja, de cada ponto do conjunto) à medida que o tempo vai para o infinito. Atratores são conjuntos limites, mas nem todos os conjuntos limites são atratores: é possível que alguns pontos de um sistema convirjam para um conjunto limite, mas pontos diferentes, quando ligeiramente perturbados para fora do conjunto limite, podem ser desviados e nunca retornar à vizinhança do conjunto limite.

Por exemplo, o pêndulo amortecido tem dois pontos invariantes: o ponto x₀ de altura mínima e o ponto x₁ de altura máxima. O ponto x₀ também é um conjunto limite, pois as trajetórias convergem para ele; o ponto x₁ não é um conjunto limite. Devido à dissipação causada pela resistência do ar, o ponto x₀ também é um atrator. Se não houvesse dissipação, x₀ não seria um atrator. Aristóteles acreditava que os objetos se moviam apenas enquanto eram empurrados, o que é uma formulação inicial de um atrator dissipativo.

Alguns atratores são conhecidos por serem caóticos (veja atrator estranho), caso em que a evolução de quaisquer dois pontos distintos do atrator resulta em trajetórias exponencialmente divergentes, o que complica a previsão quando até o menor ruído está presente no sistema.^[4]

Definição matemática

Seja ${\displaystyle t}$ o tempo e seja ${\displaystyle f(t,\cdot )}$ uma função que especifica a dinâmica do sistema. Isto é, se ${\displaystyle a}$ é um ponto em um espaço de fases de n dimensões, representando o estado inicial do sistema, então ${\displaystyle f(0,a)=a}$ e, para um valor positivo de ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle f(t,a)}$ é o resultado da evolução deste estado após ${\displaystyle t}$ unidades de tempo. Por exemplo, se o sistema descreve a evolução de uma partícula livre em uma dimensão, então o espaço de fases é o plano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ com coordenadas ${\displaystyle (x,v)}$, onde ${\displaystyle x}$ é a posição da partícula, ${\displaystyle v}$ é sua velocidade, ${\displaystyle a=(x,v)}$, e a evolução é dada por

${\displaystyle f(t,(x,v))=(x+tv,v).\ }$

Um atrator é um subconjunto ${\displaystyle A}$ do espaço de fases caracterizado pelas seguintes três condições:

• ${\displaystyle A}$ é invariante para frente sob ${\displaystyle f}$: se ${\displaystyle a}$ é um elemento de ${\displaystyle A}$, então ${\displaystyle f(t,a)}$ também é, para todo ${\displaystyle t>0}$.
• Existe uma vizinhança de ${\displaystyle A}$, chamada de bacia de atração de ${\displaystyle A}$ e denotada ${\displaystyle B(A)}$, que consiste em todos os pontos ${\displaystyle b}$ que "entram" em ${\displaystyle A}$ no limite ${\displaystyle t\to \infty }$. Mais formalmente, ${\displaystyle B(A)}$ é o conjunto de todos os pontos ${\displaystyle b}$ no espaço de fases com a seguinte propriedade:

Para qualquer vizinhança aberta ${\displaystyle N}$ de ${\displaystyle A}$, existe uma constante positiva ${\displaystyle T}$ tal que ${\displaystyle f(t,b)\in N}$ para todo ${\displaystyle t>T}$ real.

• Não há subconjunto próprio (não vazio) de ${\displaystyle A}$ com as duas primeiras propriedades.

Como a bacia de atração contém um conjunto aberto contendo ${\displaystyle A}$, todo ponto suficientemente próximo de ${\displaystyle A}$ é atraído para ${\displaystyle A}$. A definição de atrator usa uma métrica no espaço de fases, mas a noção resultante geralmente depende apenas da topologia do espaço de fases. No caso de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, a norma euclidiana é tipicamente usada.

Muitas outras definições de atrator ocorrem na literatura. Por exemplo, alguns autores exigem que um atrator tenha medida positiva (impedindo que um ponto seja um atrator), outros relaxam o requisito de que ${\displaystyle B(A)}$ seja uma vizinhança.^[5]

Tipos de atratores

Atratores são porções ou subconjuntos do espaço de fases de um sistema dinâmico. Até a década de 1960, os atratores eram pensados como sendo subconjuntos geométricos simples do espaço de fases, como pontos, linhas, superfícies e regiões simples do espaço tridimensional. Atratores mais complexos que não podem ser categorizados como subconjuntos geométricos simples, como conjuntos topologicamente selvagens, eram conhecidos na época, mas eram considerados anomalias frágeis. Stephen Smale conseguiu mostrar que seu mapa ferradura era robusto e que seu atrator tinha a estrutura de um conjunto de Cantor.

Dois atratores simples são um ponto fixo e o ciclo limite. Atratores podem assumir muitas outras formas geométricas (subconjuntos do espaço de fases). Mas quando esses conjuntos (ou os movimentos dentro deles) não podem ser facilmente descritos como combinações simples (por exemplo, intersecção e união) de objetos geométricos fundamentais (por exemplo, linhas, superfícies, esferas, toróides, variedades), então o atrator é chamado de atrator estranho.

Ponto fixo

Um ponto fixo de uma função ou transformação é um ponto que é mapeado para si mesmo pela função ou transformação. Se considerarmos a evolução de um sistema dinâmico como uma série de transformações, pode ou não haver um ponto que permaneça fixo sob cada transformação. O estado final para o qual um sistema dinâmico evolui corresponde a um ponto fixo atrator da função de evolução para esse sistema, como a posição central inferior de um pêndulo amortecido, a linha de água nivelada e plana de água balançando em um copo, ou o centro inferior de uma tigela contendo uma bola de gude rolando. Mas o(s) ponto(s) fixo(s) de um sistema dinâmico não é necessariamente um atrator do sistema. Por exemplo, se a tigela que contém uma bola de gude rolando fosse invertida e a bola fosse equilibrada no topo da tigela, o centro inferior (agora superior) da tigela é um estado fixo, mas não um atrator. Isso é equivalente à diferença entre equilíbrios estáveis e instáveis. No caso de uma bola de gude no topo de uma tigela invertida (uma colina), aquele ponto no topo da tigela (colina) é um ponto fixo (equilíbrio), mas não um atrator (equilíbrio instável).

Além disso, sistemas dinâmicos físicos com pelo menos um ponto fixo invariavelmente têm múltiplos pontos fixos e atratores devido à realidade da dinâmica no mundo físico, incluindo a dinâmica não linear do atrito estático, fricção, rugosidade superficial, deformação (tanto elástica quanto plástica), e até mesmo mecânica quântica.^[6] No caso de uma bola de gude no topo de uma tigela invertida, mesmo que a tigela pareça perfeitamente hemisférica, e a forma esférica da bola de gude, ambas são superfícies muito mais complexas quando examinadas ao microscópio, e suas formas mudam ou deformam durante o contato. Qualquer superfície física pode ser vista como tendo um terreno acidentado de múltiplos picos, vales, pontos de sela, cristas, ravinas e planícies.^[7] Há muitos pontos neste terreno de superfície (e no sistema dinâmico de uma bola de gude igualmente acidentada rolando neste terreno microscópico) que são considerados estacionários ou pontos fixos, alguns dos quais são categorizados como atratores.

Ciclo limite

Ver artigo principal: Ciclo limite

Um ciclo limite é uma órbita periódica de um sistema dinâmico contínuo que é isolada. Diz respeito a um atrator cíclico. Exemplos incluem as oscilações de um pêndulo de relógio e os batimentos cardíacos em repouso. O ciclo limite de um pêndulo ideal não é um exemplo de atrator de ciclo limite porque suas órbitas não são isoladas: no espaço de fases do pêndulo ideal, perto de qualquer ponto de uma órbita periódica há outro ponto que pertence a uma órbita periódica diferente, então a primeira órbita não é atratora. Para um pêndulo físico com fricção, o estado de repouso será um atrator de ponto fixo. A diferença com o pêndulo de relógio é que ali, a energia é injetada pelo mecanismo de escapamento para manter o ciclo.

Atrator estranho

 Nota: "Atrator estranho" redireciona para este artigo. Para outros usos, veja Atrator Estranho (desambiguação).

Um atrator é chamado de estranho se tem uma estrutura fractal; isto é, se tem dimensão de Hausdorff não inteira. Este é frequentemente o caso quando a dinâmica sobre ele é caótica, mas atratores estranhos não caóticos também existem. Se um atrator estranho é caótico, exibindo dependência sensível às condições iniciais, então quaisquer dois pontos iniciais alternativos arbitrariamente próximos no atrator, após qualquer um de vários números de iterações, levarão a pontos que estão arbitrariamente distantes (sujeitos aos confins do atrator), e após qualquer um de vários outros números de iterações, levarão a pontos que estão arbitrariamente próximos. Assim, um sistema dinâmico com um atrator caótico é localmente instável, mas globalmente estável: uma vez que algumas sequências entraram no atrator, pontos próximos divergem uns dos outros, mas nunca saem do atrator.^[8]

O termo atrator estranho foi cunhado por David Ruelle e Floris Takens para descrever o atrator resultante de uma série de bifurcações de um sistema descrevendo o fluxo de fluidos.^[9] Atratores estranhos são frequentemente diferenciáveis em algumas direções, mas alguns são como uma poeira de Cantor e, portanto, não são diferenciáveis. Atratores estranhos também podem ser encontrados na presença de ruído, onde podem ser mostrados como suportando medidas de probabilidade aleatórias invariantes do tipo Sinai–Ruelle–Bowen.^[10]

Exemplos de atratores estranhos incluem o atrator de dupla espiral, atrator de Hénon, atrator de Rössler e atrator de Lorenz.

Atratores caracterizam a evolução de um sistema

O comportamento de um sistema dinâmico pode ser influenciado por seus parâmetros ou pela escolha das condições iniciais. O mapa logístico, definido como ${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}$, é um exemplo bem estudado de um sistema dependente de um parâmetro ${\displaystyle r}$. Seus atratores para vários valores de ${\displaystyle r}$ são mostrados na figura. Para pequenos ${\displaystyle r}$, o atrator é um único ponto fixo, que é mostrado no diagrama de bifurcação como uma linha. Para outras escolhas de ${\displaystyle r}$, mais de um valor de ${\displaystyle x}$ pode se tornar atrator: em ${\displaystyle r\approx 3}$ o ponto fixo se divide em dois, criando um ciclo de período 2 durante uma bifurcação de duplicação de período. À medida que ${\displaystyle r}$ aumenta, o caos emerge através de uma cascata de duplicação de período, o que significa que o atrator consiste em um número infinito de pontos. Em ${\displaystyle r\approx 3,83}$, uma órbita de período 3 pode ser encontrada. Segue-se do teorema de Sharkovskii que órbitas de qualquer período natural estão presentes no sistema. Assim, uma única equação dinâmica pode ter atratores vastamente diferentes, dependendo da escolha dos parâmetros.

Bacias de atração

A bacia de atração de um atrator é a região do espaço de fases, sobre a qual as iterações são definidas, tal que qualquer ponto (qualquer condição inicial) nessa região será assintoticamente iterado para dentro do atrator. Para um sistema linear estável, todo ponto no espaço de fases está na bacia de atração. No entanto, em sistemas não lineares, alguns pontos podem mapear direta ou assintoticamente para o infinito, enquanto outros pontos podem estar em uma bacia de atração diferente e mapear assintoticamente para um atrator diferente; outras condições iniciais podem estar em ou mapear diretamente para um ponto ou ciclo não atrator.^[11]

Equações diferenciais parciais

Equações diferenciais parciais parabólicas podem ter atratores de dimensão finita. A parte difusiva da equação amortece frequências mais altas e, em alguns casos, leva a um atrator global. As equações de Ginzburg–Landau, Kuramoto–Sivashinsky e as equações de Navier–Stokes forçadas bidimensionais são conhecidas por terem atratores globais de dimensão finita.

Para a equação de Navier–Stokes tridimensional, incompressível, com condições de contorno periódicas, se ela tem um atrator global, então este atrator será de dimensões finitas.^[13]

Ver também

• Efeito borboleta
• Atrator de Lorenz
• Teoria do caos
• Complexidades
• Sinergia
• Fractais

Referências

Leitura adicional

• David Ruelle; Floris Takens (1971). «On the nature of turbulence». Communications in Mathematical Physics. 20 (3): 167–192. Bibcode:1971CMaPh..20..167R. doi:10.1007/BF01646553 
• D. Ruelle (1981). «Small random perturbations of dynamical systems and the definition of attractors» (PDF). Communications in Mathematical Physics. 82 (1): 137–151. Bibcode:1981CMaPh..82..137R. doi:10.1007/BF01206949 
• David Ruelle (1989). Elements of Differentiable Dynamics and Bifurcation Theory. [S.l.]: Academic Press. ISBN 978-0-12-601710-6 
• Ruelle, David (agosto de 2006). «What is...a Strange Attractor?» (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 53 (7): 764–765. Consultado em 16 de janeiro de 2008 
• Celso Grebogi; Edward Ott; Pelikan; Yorke (1984). «Strange attractors that are not chaotic». Physica D. 13 (1–2): 261–268. Bibcode:1984PhyD...13..261G. doi:10.1016/0167-2789(84)90282-3 
• Chekroun, M. D.; E. Simonnet; M. Ghil (2011). «Stochastic climate dynamics: Random attractors and time-dependent invariant measures». Physica D. 240 (21): 1685–1700. Bibcode:2011PhyD..240.1685C. doi:10.1016/j.physd.2011.06.005 
• Edward N. Lorenz (1996) The Essence of Chaos ISBN 0-295-97514-8
• James Gleick (1988) Chaos: Making a New Science ISBN 0-14-009250-1

Ligações externas

O Commons possui imagens e outros ficheiros sobre Atrator

• Bacia de atração no Scholarpedia
• Uma galeria de atratores estranhos trigonométricos
• Atrator de dupla espiral Simulação do circuito de Chua
• Uma galeria de atratores estranhos polinomiais
• Chaoscope, um freeware de renderização de Atratores Estranhos 3D
• Resumo da pesquisa e laboratório de software Arquivado em 2022-06-28 no Wayback Machine
• Gerador online de atratores estranhos
• Gerador interativo de atratores trigonométricos
• Atrator econômico