Velocidade vetorial média

A velocidade vetorial média de um objeto ao longo de um período de tempo é a sua mudança de posição, ${\displaystyle \Delta s}$, dividida pela duração do período, ${\displaystyle \Delta t}$, dada matematicamente como^[1] $${\displaystyle {\bar {v}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}.}$$

Velocidade vetorial instantânea

A velocidade vetorial instantânea de um objeto é o limite da velocidade vetorial média à medida que o intervalo de tempo se aproxima de zero. Em qualquer instante específico t, ela pode ser calculada como a derivada da posição em relação ao tempo:^[2] $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta {\boldsymbol {s}}}{\Delta t}}={\frac {d{\boldsymbol {s}}}{dt}}.}$$

A partir desta equação derivada, no caso unidimensional pode-se ver que a área sob um gráfico de velocidade vetorial vs. tempo (v vs. t) é o deslocamento, s. Em termos de cálculo, a integral da função velocidade vetorial v(t) é la função deslocamento s(t). Na figura, isso corresponde à área amarela sob a curva. $${\displaystyle {\boldsymbol {s}}=\int {\boldsymbol {v}}\ dt.}$$

Embora o conceito de uma velocidade vetorial instantânea possa parecer contraintuitivo à primeira vista, ele pode ser pensado como a velocidade vetorial com a qual o objeto continuaria a se mover se parasse de acelerar naquele exato momento.

Diferença entre velocidade escalar e velocidade vetorial

Embora os termos velocidade escalar e velocidade vetorial sejam frequentemente usados de forma intercambiável coloquialmente para conotar o quão rápido um objeto está se movendo, em termos científicos eles são diferentes. A velocidade escalar, a magnitude escalar de um vetor velocidade, denota apenas o quão rápido um objeto está se movendo, enquanto a velocidade vetorial indica tanto a velocidade escalar quanto a direção de um objeto.^[3][4][5]

Para ter uma velocidade vetorial constante, um objeto deve ter uma velocidade escalar constante em uma direção constante. A direção constante restringe o objeto ao movimento em uma trajetória reta; portanto, uma velocidade vetorial constante significa movimento em linha reta a uma velocidade escalar constante.

Por exemplo, um carro que se move a uma velocidade escalar constante de 20 quilômetros por hora em uma trajetória circular tem uma velocidade escalar constante, mas não possui uma velocidade vetorial constante porque sua direção muda. Portanto, considera-se que o carro está passando por uma aceleração.

Unidades

Como a derivada da posição em relação ao tempo fornece a mudança na posição (em metros) dividida pela mudança no tempo (em segundos), a velocidade vetorial é medida em metros por segundo (m/s).

Velocidade vetorial média

A velocidade vetorial é definida como a taxa de variação da posição em relação ao tempo, que também pode ser chamada de velocidade vetorial instantânea para enfatizar a distinção da velocidade vetorial média. Em algumas aplicações, a velocidade vetorial média de um objeto pode ser necessária, ou seja, a velocidade vetorial constante que forneceria o mesmo deslocamento resultante que uma velocidade vetorial variável no mesmo intervalo de tempo, v(t), ao longo de algum período de tempo Δt. A velocidade vetorial média pode ser calculada como:^[6][7] $${\displaystyle \mathbf {\bar {v}} ={\frac {\Delta \mathbf {x} }{\Delta t}}={\frac {\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {v} (t)\,dt}{t_{1}-t_{0}}}.}$$

A velocidade vetorial média é sempre menor ou igual à velocidade escalar média de um objeto. Isso pode ser visto ao perceber que, enquanto a distância é sempre estritamente crescente, o deslocamento pode aumentar ou diminuir em magnitude, bem como mudar de direção.

Em termos de um gráfico de deslocamento-tempo (x vs. t), la velocidade vetorial instantânea (ou, simplesmente, velocidade vetorial) pode ser pensada como a declividade da linha tangente à curva em qualquer ponto, e a velocidade vetorial média como a declividade da reta secante entre dois pontos com coordenadas t iguais aos limites do período de tempo para a velocidade vetorial média.

Relação com a aceleração

Embora a velocidade vetorial seja definida como a taxa de variação da posição, muitas vezes é comum começar com uma expressão para a aceleração de um objeto. Como visto pelas três linhas tangentes verdes na figura, a aceleração instantânea de um objeto em um ponto no tempo é a declividade da linha tangente à curva de um gráfico v(t) naquele ponto. Em outras palavras, a aceleração instantânea é definida como a derivada da velocidade vetorial em relação ao tempo:^[9] $${\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}.}$$

A partir daí, a velocidade vetorial é expressa como a área sob um gráfico de aceleração a(t) vs. tempo. Como acima, isso é feito usando o conceito de integral:

$${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=\int {\boldsymbol {a}}\ dt.}$$

Momento linear

Na mecânica clássica, a segunda lei de Newton define o momento linear, p, como um vetor que é o produto da massa de um objeto pela sua velocidade vetorial, dado matematicamente como:$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}}$$onde m é a massa do objeto.

Energia cinética

A energia cinética de um objeto em movimento depende da sua velocidade escalar e é dada pela equação:^[10]$${\displaystyle E_{\text{k}}={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$$onde E_k é a energia cinética. A energia cinética é uma grandeza escalar, pois depende do quadrado da velocidade escalar.

Arrasto (resistência dos fluidos)

Na dinâmica dos fluidos, o arrasto é uma força que atua na direção oposta ao movimento relativo de qualquer objeto que se mova em relação a um fluido circundante. A força de arrasto, ${\displaystyle F_{D}}$, depende do quadrado da velocidade escalar e é dada como:$${\displaystyle F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}\,C_{D}\,A}$$onde:

• ${\displaystyle \rho }$ é a densidade do fluido,^[11]
• ${\displaystyle v}$ é a velocidade escalar do objeto em relação ao fluido,
• ${\displaystyle A}$ é a área da seção reta, e
• ${\displaystyle C_{D}}$ é o coeficiente de arrasto – um número adimensional.

Velocidade de escape

A velocidade de escape é a velocidade escalar mínima que um objeto balístico precisa para escapar de um corpo de grande massa, como a Terra. Ela representa a energia cinética que, quando somada à energia potencial gravitacional do objeto ( que é sempre negativa), é igual a zero. A fórmula geral para a velocidade de escape de um objeto a uma distância r do centro de um planeta com massa M é:^[12]$${\displaystyle v_{\text{e}}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}={\sqrt {2gr}},}$$onde G é a constante gravitacional e g é a aceleração gravitacional. A velocidade de escape da superfície da Terra é de cerca de 11.200 m/s, e independe da direção do objeto. Isso torna o termo em inglês "escape velocity" um tanto inadequado, pois o termo mais correto seria "escape speed" (velocidade escalar de escape): qualquer objeto que atinja uma velocidade escalar dessa magnitude, independentemente da atmosfera, deixará as proximidades do corpo de base, desde que não colida com algo em seu caminho.

O fator de Lorentz da relatividade especial

Na relatividade especial, o fator de Lorentz adimensional aparece com frequência e é dado por:^[13]$${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$onde γ é o fator de Lorentz e c é a velocidade escalar da luz.

Velocidades escalares

No caso unidimensional,^[14] as velocidades são escalares e a equação é: $${\displaystyle v_{\text{rel}}=v-(-w),}$$ se os dois objetos estiverem se movendo em direções opostas, ou: $${\displaystyle v_{\text{rel}}=v-(+w),}$$ se os dois objetos estiverem se movendo na mesma direção.

Coordenadas cartesianas

Em sistemas de coordenadas cartesianas multidimensionais, a velocidade vetorial é dividida em componentes que correspondem a cada eixo dimensional do sistema de coordenadas. Em um sistema bidimensional, onde existem um eixo x e um eixo y, as componentes correspondentes da velocidade vetorial são definidas como:^[15]

$${\displaystyle v_{x}=dx/dt,}$$

$${\displaystyle v_{y}=dy/dt.}$$

O vetor velocidade vetorial bidimensional é então definido como ${\displaystyle {\textbf {v}}=\langle v_{x},v_{y}\rangle }$. A magnitude deste vetor representa a velocidade escalar e é encontrada pela fórmula da distância como:

$${\displaystyle |\mathbf {v} |={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}.}$$

Em sistemas tridimensionais onde há um eixo z adicional, a componente correspondente da velocidade vetorial é definida como:

$${\displaystyle v_{z}=dz/dt.}$$

O vetor velocidade vetorial tridimensional é definido como ${\displaystyle {\textbf {v}}=\langle v_{x},v_{y},v_{z}\rangle }$, com sua magnitude também representando a velocidade escalar e sendo determinada por:

$${\displaystyle |\mathbf {v} |={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}.}$$

Enquanto alguns livros didáticos usam a notação de subscrito para definir as componentes cartesianas da velocidade vetorial, outros usam ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$ e ${\displaystyle w}$ para os eixos ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$, respectivamente.^[16]

Coordenadas polares

Em coordenadas polares, uma velocidade vetorial bidimensional é descrita por uma velocidade radial, definida como a componente da velocidade vetorial que se afasta ou se aproxima da origem, e uma velocidade transversal, perpendicular à radial.^[17][18] Ambas surgem da velocidade angular, que é a taxa de rotação em torno da origem (com grandezas positivas representando a rotação no sentido anti-horário e grandezas negativas representando a rotação no sentido horário, em um sistema de coordenadas destrógiro).

As velocidades radial e transversal podem ser derivadas dos vetores cartesianos de velocidade vetorial e deslocamento decompondo o vetor velocidade vetorial em componentes radial e transversal. A velocidade transversal é a componente da velocidade vetorial ao longo de um círculo centrado na origem. $${\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}_{T}+{\boldsymbol {v}}_{R}}$$ onde

• ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{T}}$ é a velocidade transversal
• ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{R}}$ é a velocidade radial.

A velocidade escalar radial (ou magnitude da velocidade radial) é o produto escalar do vetor velocidade vetorial pelo vetor unitário na direção radial. $${\displaystyle v_{R}={\frac {{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {r}}}{\left|{\boldsymbol {r}}\right|}}={\boldsymbol {v}}\cdot {\hat {\boldsymbol {r}}}}$$ where ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ é a posição e ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {r}}}}$ é a direção radial.

A velocidade escalar transversal (ou magnitude da velocidade transversal) é a magnitude do produto vetorial do vetor unitário na direção radial pelo vetor velocidade vetorial. É também o produto escalar da velocidade vetorial pela direção transversal, ou o produto da velocidade escalar angular ${\displaystyle \omega }$ pelo raio (a magnitude da posição). $${\displaystyle v_{T}={\frac {|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|}{|{\boldsymbol {r}}|}}={\boldsymbol {v}}\cdot {\hat {\boldsymbol {t}}}=\omega |{\boldsymbol {r}}|}$$ de modo que $${\displaystyle \omega ={\frac {|{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}|}{|{\boldsymbol {r}}|^{2}}}.}$$

O momento angular na forma escalar é a massa vezes a distância até a origem vezes a velocidade escalar transversal ou, equivalentemente, a massa vezes a distância ao quadrado vezes a velocidade escalar angular. A convenção de sinais para o momento angular é a mesma da velocidade angular. $${\displaystyle L=mrv_{T}=mr^{2}\omega }$$ onde

• ${\displaystyle m}$ é a massa
• ${\displaystyle r=|{\boldsymbol {r}}|.}$

A expressão ${\displaystyle mr^{2}}$ é conhecida como momento de inércia. Se as forças estiverem apenas na direção radial com uma dependência do inverso do quadrado, como no caso de uma órbita gravitacional, o momento angular é constante, a velocidade escalar transversal é inversamente proporcional à distância, a velocidade escalar angular é inversamente proporcional à distância ao quadrado e a taxa com que a área é varrida é constante. Essas relações são conhecidas como Leis de Kepler do movimento planetário.