Abordagem analítica

A ideia geométrica da reta tangente como o limite das retas secantes serve como motivação para métodos analíticos que são usados para encontrar retas tangentes explicitamente. A questão de encontrar a reta tangente a um gráfico, ou o problema da reta tangente, foi uma das questões centrais que levaram ao desenvolvimento do cálculo no século XVII. No segundo livro de sua Geometria, René Descartes^[11] disse sobre o problema de construir a tangente a uma curva: "E ouso dizer que este não é apenas o problema mais útil e mais geral em geometria que conheço, mas até mesmo aquele que sempre desejei conhecer".^[12]

Equações

Quando a curva é dada por y = f(x), então a inclinação da tangente é ${\displaystyle dy/dx}$, então pela fórmula ponto-inclinação a equação da reta tangente em (X, Y) é:

${\displaystyle y-Y={\frac {dy}{dx}}(X)\cdot (x-X)}$

onde (x, y) são as coordenadas de qualquer ponto na reta tangente, e onde a derivada é avaliada em ${\displaystyle x=X}$.^[13]

Quando a curva é dada por y = f(x), a equação da reta tangente também pode ser encontrada^[14] usando a divisão polinomial para dividir ${\displaystyle f\,(x)}$ por ${\displaystyle (x-X)^{2}}$; se o resto for denotado por ${\displaystyle g(x)}$, então a equação da reta tangente é dada por:

${\displaystyle y=g(x)}$

Quando a equação da curva é dada na forma f(x, y) = 0 então o valor da inclinação pode ser encontrado por diferenciação implícita, dando:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\partial f}{\partial x}}{\bigg /}{\frac {\partial f}{\partial y}}}$

A equação da reta tangente em um ponto (X,Y) tal que f(X,Y) = 0 é então:^[13]

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot (x-X)+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot (y-Y)=0}$

Esta equação permanece verdadeira se:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)=0,\quad {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0}$

Nesse caso, a inclinação da tangente é infinita (reta vertical). Se, no entanto,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0}$

a reta tangente não é definida e o ponto (X,Y) é dito ser singular.

Para curvas algébricas, os cálculos podem ser simplificados convertendo para coordenadas homogêneas. Especificamente, considere que a equação homogênea da curva seja g(x, y, z) = 0, onde g é uma função homogênea de grau n. Então, se (X, Y, Z) estiver na curva, o Teorema de Euler implica: $${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}\cdot X+{\frac {\partial g}{\partial y}}\cdot Y+{\frac {\partial g}{\partial z}}\cdot Z=ng(X,Y,Z)=0}$$ Segue-se que a equação homogênea da reta tangente é:

${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}(X,Y,Z)\cdot x+{\frac {\partial g}{\partial y}}(X,Y,Z)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,Z)\cdot z=0}$

A equação da reta tangente em coordenadas cartesianas pode ser encontrada definindo z=1 nesta equação.^[15]

Para aplicar isso a curvas algébricas, escreva f(x, y) como:

${\displaystyle f=u_{n}+u_{n-1}+\dots +u_{1}+u_{0}}$

onde cada u_r é a soma de todos os termos de grau r. A equação homogênea da curva é então:

${\displaystyle g=u_{n}+u_{n-1}z+\dots +u_{1}z^{n-1}+u_{0}z^{n}=0}$

A aplicação da equação acima e a definição de z=1 produzem:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot x+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,1)=0}$

como a equação da reta tangente.^[16] A equação nesta forma é frequentemente mais simples de usar na prática, uma vez que nenhuma simplificação adicional é necessária após sua aplicação.^[15]

Se a curva for dada parametricamente por:

${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)}$

então a inclinação da tangente é:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}{\bigg /}{\frac {dx}{dt}}}$

dando a equação para a reta tangente em ${\displaystyle \,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)}$ como^[17]

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(T)\cdot (y-Y)={\frac {dy}{dt}}(T)\cdot (x-X)}$

Se

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0}$

a reta tangente não está definida. Entretanto, pode ocorrer que a reta tangente exista e possa ser calculada a partir de uma equação implícita da curva.

Reta normal a uma curva

A reta perpendicular à reta tangente a uma curva no ponto de tangência é chamada de reta normal à curva naquele ponto. O produto das inclinações de duas retas perpendiculares é −1, então se a equação da curva é y = f(x), a inclinação da reta normal é:

${\displaystyle -1{\bigg /}{\frac {dy}{dx}}}$

e segue-se que a equação da reta normal em (X, Y) é:

${\displaystyle (x-X)+{\frac {dy}{dx}}(y-Y)=0}$

Da mesma forma, se a equação da curva tem a forma f(x, y) = 0, então a equação da reta normal é dada por:^[18]

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x-X)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(y-Y)=0}$

Se a curva for dada parametricamente por:

${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)}$

então a equação da reta normal é:^[17]

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(x-X)+{\frac {dy}{dt}}(y-Y)=0}$

Ângulo entre curvas

O ângulo entre duas curvas em um ponto onde elas se cruzam é definido como o ângulo entre suas retas tangentes naquele ponto. Mais especificamente, diz-se que duas curvas são tangentes em um ponto se elas compartilham a mesma tangente naquele ponto, e ortogonais se suas retas tangentes forem ortogonais.^[19]

Múltiplas tangentes em um ponto

As fórmulas acima falham quando o ponto é um ponto singular. Neste caso, pode haver duas ou mais ramificações da curva que passam pelo ponto, cada ramificação tendo sua própria reta tangente. Quando o ponto é a origem, as equações dessas retas podem ser encontradas para curvas algébricas fatorando a equação formada ao eliminar todos os termos, exceto os de menor grau da equação original. Como qualquer ponto pode ser transformado na origem por uma mudança de variáveis (ou pela translação da curva), isso fornece um método para encontrar as retas tangentes em qualquer ponto singular.

Por exemplo, a equação da trissetriz de limaçon mostrada à direita é:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2})}$

Expandir esta equação e eliminar todos os termos, exceto os de grau 2, resulta em:

${\displaystyle a^{2}(3x^{2}-y^{2})=0}$

que, quando fatorado, torna-se:

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {3}}x}$

Portanto, essas são as equações das duas retas tangentes que passam pela origem.^[20]

Quando a curva não possui autocruzamento, a tangente em um ponto de referência pode ainda não ser definida de forma única porque a curva não é diferenciável naquele ponto, embora seja diferenciável em outros pontos. Neste caso, as derivadas à esquerda e à direita são definidas como os limites da derivada conforme o ponto de avaliação se aproxima do ponto de referência, respectivamente pela esquerda (valores menores) ou pela direita (valores maiores). Por exemplo, a curva y = |x | não é diferenciável em x = 0: suas derivadas à esquerda e à direita têm respectivas inclinações −1 e 1; as tangentes naquele ponto com essas inclinações são chamadas de tangentes à esquerda e à direita.^[21]

Às vezes, as inclinações das retas tangentes à esquerda e à direita são iguais, fazendo com que as retas tangentes coincidam. Isso ocorre, por exemplo, na curva y = x ^2/3, na qual ambas as derivadas à esquerda e à direita em x = 0 são infinitas; ambas as retas tangentes à esquerda e à direita têm a equação x = 0.

Fontes

• J. Edwards (1892). Differential Calculus (em inglês). London: MacMillan and Co. pp. 143 ff