Teoria quântica de campos
Diagrama de Feynman
História
Contexto Teoria de gauge Teoria dos campos Simetria de Poincaré Mecânica quântica Quebra espontânea de simetria Teoria dos twistores
Simetrias Simetria C Simetria CP Simetria temporal
Ferramentas Anomalia Teoria efetiva dos campos Matriz CKM Valor esperado do vácuo Fantasmas de Faddeev-Popov Diagramas de Feynman Fórmula da redução de LSZ Propagador Quantização Renormalização Vácuo quântico Teorema de Wick Axiomas de Wightman
Equações Equação de Dirac Equação de Klein–Gordon Equação de Proca Equação de Wheeler–DeWitt
Modelo padrão Força eletrofraca Mecanismo de Higgs Cromodinâmica quântica Eletrodinâmica quântica
Teorias incompletas Gravidade quântica Teoria das cordas Supersimetria Teoria de Yang-Mills Teoria de tudo
Cientistas Adler Hawking Bethe Bogoliubov Callan Coleman DeWitt Dirac Dyson Fermi Feynman Fierz Fröhlich Gell-Mann Goldstone Gross 't Hooft Higgs Jackiw Klein Landau Lee Lehmann Majorana Nambu Parisi Polyakov Salam Schwinger Skyrme Stueckelberg Symanzik Tomonaga Veltman Weinberg Weisskopf Wilson Wilczek Witten Yang Yukawa Zimmermann Zinn-Justin Lopes
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A teoria de Yang–Mills é uma teoria quântica de campos para a ligação nuclear concebida por Chen Ning Yang e Robert Mills em 1953, bem como um termo genérico para a classe de teorias semelhantes. A teoria de Yang–Mills é uma teoria de gauge baseada em um grupo unitário especial SU(n), ou mais geralmente qualquer grupo de Lie compacto. Uma teoria de Yang–Mills busca descrever o comportamento de partículas elementares usando esses grupos de Lie não abelianos e está no cerne da unificação da força eletromagnética e da força fraca (ou seja, U(1) × SU(2)), bem como da cromodinâmica quântica, a teoria da força forte (baseada em SU(3)). Assim, ela forma a base da compreensão do Modelo Padrão da física de partículas.

História e descrição qualitativa

Visão geral matemática

O coeficiente dx¹⊗σ₃ de um ínstanton BPST na fatia (x¹,x²) de ℝ⁴ onde σ₃ é a terceira matriz de Pauli (superior esquerdo). O coeficiente dx²⊗σ₃ (superior direito). Esses coeficientes determinam a restrição do íntanton BPST A com g=2, ρ=1, z=0 a esta fatia. A intensidade de campo correspondente centrada em torno de z=0 (inferior esquerdo). Uma representação visual da intensidade de campo de um íntanton BPST com centro z na compactificação S⁴ de ℝ⁴ (inferior direito). O íntanton BPST é uma solução clássica de ínstanton para as equações de Yang–Mills em ℝ⁴.

As teorias de Yang–Mills são exemplos especiais de teorias de gauge com um grupo de simetria não abeliano dado pelo lagrangiano

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }=-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} (F^{2})=-{\tfrac {1}{4}}F^{a\mu \nu }F_{\mu \nu }^{a}\ }$

com os geradores ${\displaystyle \ T^{a}\ }$ da álgebra de Lie, indexados por a, correspondendo às quantidades F (a curvatura ou forma de intensidade de campo) satisfazendo

${\displaystyle \ \operatorname {tr} \left(T^{a}\ T^{b}\right)={\tfrac {1}{2}}\delta ^{ab}\ ,\qquad \left[T^{a},\ T^{b}\right]=i\ f^{abc}\ T^{c}~.}$

Aqui, os f ^abc são constantes de estrutura da álgebra de Lie (totalmente antissimétricas se os geradores da álgebra de Lie são normalizados de modo que ${\displaystyle \ \operatorname {tr} (T^{a}\ T^{b})\ }$ seja proporcional a ${\displaystyle \ \delta ^{ab}\ }$), a derivada covariante é definida como

${\displaystyle \ D_{\mu }=I\ \partial _{\mu }-i\ g\ T^{a}\ A_{\mu }^{a}\ ,}$

I é a matriz identidade (correspondendo ao tamanho dos geradores), ${\displaystyle \ A_{\mu }^{a}\ }$ é o potencial vetor, e g é a constante de acoplamento. Em quatro dimensões, a constante de acoplamento g é um número puro e para um grupo SU(n) tem-se ${\displaystyle \ a,b,c=1\ldots n^{2}-1~.}$

A relação

${\displaystyle \ F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+g\ f^{abc}\ A_{\mu }^{b}\ A_{\nu }^{c}\ }$

pode ser derivada pelo comutador

${\displaystyle \ \left[D_{\mu },D_{\nu }\right]=-i\ g\ T^{a}\ F_{\mu \nu }^{a}~.}$

O campo tem a propriedade de ser autointeragente e as equações de movimento obtidas são ditas semilineares, pois as não linearidades são tanto com quanto sem derivadas. Isso significa que só se pode gerenciar esta teoria por teoria de perturbação com pequenas não linearidades.^{[carece de fontes?]}

Note que a transição entre componentes de vetor ou tensor "superior" ("contravariante") e "inferior" ("covariante") é trivial para índices a (por exemplo, ${\displaystyle \ f^{abc}=f_{abc}\ }$), enquanto para μ e ν é não trivial, correspondendo por exemplo à assinatura usual de Lorentz, ${\displaystyle \ \eta _{\mu \nu }={\rm {diag}}(+---)~.}$

A partir do lagrangiano dado, pode-se derivar as equações de movimento dadas por

${\displaystyle \ \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+g\ f^{abc}\ A^{\mu b}\ F_{\mu \nu }^{c}=0~.}$

Colocando ${\displaystyle \ F_{\mu \nu }=T^{a}F_{\mu \nu }^{a}\ ,}$ estas podem ser reescritas como

${\displaystyle \ \left(D^{\mu }F_{\mu \nu }\right)^{a}=0~.}$

Uma identidade de Bianchi é válida

${\displaystyle \ \left(D_{\mu }\ F_{\nu \kappa }\right)^{a}+\left(D_{\kappa }\ F_{\mu \nu }\right)^{a}+\left(D_{\nu }\ F_{\kappa \mu }\right)^{a}=0\ }$

que é equivalente à identidade de Jacobi

${\displaystyle \ \left[D_{\mu },\left[D_{\nu },D_{\kappa }\right]\right]+\left[D_{\kappa },\left[D_{\mu },D_{\nu }\right]\right]+\left[D_{\nu },\left[D_{\kappa },D_{\mu }\right]\right]=0\ }$

pois ${\displaystyle \ \left[D_{\mu },F_{\nu \kappa }^{a}\right]=D_{\mu }\ F_{\nu \kappa }^{a}~.}$ Defina o tensor dual de intensidade ${\displaystyle \ {\tilde {F}}^{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}\varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }\ ,}$ então a identidade de Bianchi pode ser reescrita como

${\displaystyle \ D_{\mu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }=0~.}$

Uma fonte ${\displaystyle \ J_{\mu }^{a}\ }$ entra nas equações de movimento como

${\displaystyle \ \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+g\ f^{abc}\ A^{b\mu }\ F_{\mu \nu }^{c}=-J_{\nu }^{a}~.}$

Note que as correntes devem mudar adequadamente sob transformações do grupo de gauge.

Damos aqui alguns comentários sobre as dimensões físicas do acoplamento. Em D dimensões, o campo escala como ${\displaystyle \ \left[A\right]=\left[L^{\left({\tfrac {2-D}{2}}\right)}\right]\ }$ e então o acoplamento deve escalar como ${\displaystyle \ \left[g^{2}\right]=\left[L^{\left(D-4\right)}\right]~.}$ Isso implica que a teoria de Yang–Mills não é renormalizável para dimensões maiores que quatro. Além disso, para D = 4 , o acoplamento é adimensional e tanto o campo quanto o quadrado do acoplamento têm as mesmas dimensões do campo e do acoplamento de uma teoria de campo escalar quártica sem massa. Portanto, essas teorias compartilham a invariância de escala no nível clássico.

Quantização

Um método de quantizar a teoria de Yang–Mills é por métodos funcionais, ou seja, integrais de caminho. Introduz-se um funcional gerador para funções de n pontos como

${\displaystyle \ Z[j]=\int [\mathrm {d} A]\ \exp \left[-{\tfrac {i}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ \operatorname {tr} \left(F^{\mu \nu }\ F_{\mu \nu }\right)+i\ \int \mathrm {d} ^{4}x\ j_{\mu }^{a}(x)\ A^{a\mu }(x)\right]\ ,}$

mas esta integral não tem significado como está, pois o vetor potencial pode ser arbitrariamente escolhido devido à liberdade de gauge. Este problema já era conhecido para a eletrodinâmica quântica, mas aqui se torna mais severo devido às propriedades não abelianas do grupo de gauge. Uma saída foi dada por Ludvig Faddeev e Victor Popov com a introdução de um campo fantasma (veja fantasma de Faddeev–Popov) que tem a propriedade de ser não físico, pois, embora concorde com a estatística de Fermi–Dirac, é um campo escalar complexo, o que viola o teorema spin–estatística. Assim, podemos escrever o funcional gerador como

${\displaystyle {\begin{aligned}Z[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]&=\int [\mathrm {d} \ A][\mathrm {d} \ {\bar {c}}][\mathrm {d} \ c]\ \exp {\Bigl \{}i\ S_{F}\ \left[\partial A,A\right]+i\ S_{gf}\left[\partial A\right]+i\ S_{g}\left[\partial c,\partial {\bar {c}},c,{\bar {c}},A\right]{\Bigr \}}\\&\exp \left\{i\int \mathrm {d} ^{4}x\ j_{\mu }^{a}(x)A^{a\mu }(x)+i\int \mathrm {d} ^{4}x\ \left[{\bar {c}}^{a}(x)\ \varepsilon ^{a}(x)+{\bar {\varepsilon }}^{a}(x)\ c^{a}(x)\right]\right\}\end{aligned}}}$

sendo

${\displaystyle S_{F}=-{\tfrac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ \operatorname {tr} \left(F^{\mu \nu }\ F_{\mu \nu }\right)\ }$

para o campo,

${\displaystyle S_{gf}=-{\frac {1}{2\xi }}\int \mathrm {d} ^{4}x\ (\partial \cdot A)^{2}\ }$

para o fixing de gauge e

${\displaystyle \ S_{g}=-\int \mathrm {d} ^{4}x\ \left({\bar {c}}^{a}\ \partial _{\mu }\partial ^{\mu }c^{a}+g\ {\bar {c}}^{a}\ f^{abc}\ \partial _{\mu }\ A^{b\mu }\ c^{c}\right)\ }$

para o fantasma. Esta é a expressão comumente usada para derivar as regras de Feynman (veja diagrama de Feynman). Aqui temos c^a para o campo fantasma, enquanto ξ fixa a escolha do gauge para a quantização. As regras de Feynman obtidas a partir deste funcional são as seguintes ^[9]

Diagrama	Regra de Feynman no espaço de momentos
Propagador do glúon	${\displaystyle D_{\mu \nu }^{ab}(k)={\frac {-i\,\delta ^{ab}}{k^{2}+i\epsilon }}\left(g_{\mu \nu }-(1-\xi ){\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}}\right)}$
Vértice de 3 glúons	${\displaystyle V_{\mu \nu \rho }^{abc}(p,q,r)=g\,f^{abc}{\Big [}g_{\mu \nu }(p-q)_{\rho }+g_{\nu \rho }(q-r)_{\mu }+g_{\rho \mu }(r-p)_{\nu }{\Big ]},\qquad p+q+r=0}$
Vértice de 4 glúons	${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mu \nu \rho \sigma }^{abcd}&=-ig^{2}{\Big [}f^{abe}f^{cde}\,(g_{\mu \rho }g_{\nu \sigma }-g_{\mu \sigma }g_{\nu \rho })\\&\quad +f^{ace}f^{bde}\,(g_{\mu \nu }g_{\rho \sigma }-g_{\mu \sigma }g_{\nu \rho })\\&\quad +f^{ade}f^{bce}\,(g_{\mu \nu }g_{\rho \sigma }-g_{\mu \rho }g_{\nu \sigma }){\Big ]}\end{aligned}}}$
Propagador do fantasma	${\displaystyle D_{\mathrm {gh} }^{ab}(k)={\frac {i\,\delta ^{ab}}{k^{2}+i\epsilon }}}$
Vértice fantasma–fantasma–glúon (ccg)	${\displaystyle V_{\mu }^{abc}({\bar {c}}^{a}(p),\,c^{b}(q),\,A_{\mu }^{c}(r))=-\,g\,f^{abc}\,p_{\mu },\qquad p+q+r=0}$

Estas regras para os diagramas de Feynman podem ser obtidas quando o funcional gerador dado acima é reescrito como

${\displaystyle {\begin{aligned}Z[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]&=\exp \left(-i\ g\int \mathrm {d} ^{4}x\ {\frac {\delta }{i\ \delta \ {\bar {\varepsilon }}^{a}(x)}}\ f^{abc}\partial _{\mu }\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\mu }^{b}(x)}}\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ \varepsilon ^{c}(x)}}\right)\\&\qquad \times \exp \left(-i\ g\int \mathrm {d} ^{4}x\ f^{abc}\partial _{\mu }{\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\nu }^{a}(x)}}{\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\mu }^{b}(x)}}\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ j^{c\nu }(x)}}\right)\\&\qquad \qquad \times \exp \left(-i\ {\frac {g^{2}}{4}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ f^{abc}\ f^{ars}{\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\mu }^{b}(x)}}\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\nu }^{c}(x)}}\ {\frac {\ i\delta }{\delta \ j^{r\mu }(x)}}{\frac {i\ \delta }{\delta \ j^{s\nu }(x)}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \times Z_{0}[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]\end{aligned}}}$

com

${\displaystyle Z_{0}[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]=\exp \left(-\int \mathrm {d} ^{4}x\ \mathrm {d} ^{4}y\ {\bar {\varepsilon }}^{a}(x)\ C^{ab}(x-y)\ \varepsilon ^{b}(y)\right)\exp \left({\tfrac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ \mathrm {d} ^{4}y\ j_{\mu }^{a}(x)\ D^{ab\mu \nu }(x-y)\ j_{\nu }^{b}(y)\right)\ }$

sendo o funcional gerador da teoria livre. Expandindo em g e computando as derivadas funcionais, podemos obter todas as funções de n pontos com teoria de perturbação. Usando a fórmula de redução de LSZ, obtemos a partir das funções de n pontos as amplitudes de processo correspondentes, seções de choque e taxas de decaimento. A teoria é renormalizável e as correções são finitas em qualquer ordem da teoria de perturbação.

Para a eletrodinâmica quântica, o campo fantasma se desacopla porque o grupo de gauge é abeliano. Isso pode ser visto a partir do acoplamento entre o campo de gauge e o campo fantasma, que é ${\displaystyle \ {\bar {c}}^{a}\ f^{abc}\ \partial _{\mu }A^{b\mu }\ c^{c}~.}$ Para o caso abeliano, todas as constantes de estrutura ${\displaystyle \ f^{abc}\ }$ são zero e, portanto, não há acoplamento. No caso não abeliano, o campo fantasma aparece como uma maneira útil de reescrever a teoria quântica de campos sem consequências físicas sobre os observáveis da teoria, como seções de choque ou taxas de decaimento.

Um dos resultados mais importantes obtidos para a teoria de Yang–Mills é a liberdade assintótica. Este resultado pode ser obtido assumindo que a constante de acoplamento g é pequena (pequenas não linearidades), como para altas energias, e aplicando a teoria de perturbação. A relevância deste resultado se deve ao fato de que uma teoria de Yang–Mills que descreve a interação forte e a liberdade assintótica permite o tratamento adequado de resultados experimentais provenientes do espalhamento profundamente inelástico.

Para obter o comportamento da teoria de Yang–Mills em altas energias e, portanto, provar a liberdade assintótica, aplica-se a teoria de perturbação assumindo um pequeno acoplamento. Isso é verificado a posteriori no limite ultravioleta. No limite oposto, o limite infravermelho, a situação é o oposto, pois o acoplamento é muito grande para que a teoria de perturbação seja confiável. A maioria das dificuldades que a pesquisa encontra é justamente gerenciar a teoria em baixas energias. Esse é o caso interessante, inerente à descrição da matéria hadrônica e, mais geralmente, a todos os estados ligados observados de glúons e quarks e seu confinamento (veja hádrons). O método mais usado para estudar a teoria neste limite é tentar resolvê-la em computadores (veja teoria de gauge na rede). Neste caso, grandes recursos computacionais são necessários para garantir que o limite correto de volume infinito (menor espaçamento da rede) seja obtido. Este é o limite com o qual os resultados devem ser comparados. Menor espaçamento e maior acoplamento não são independentes um do outro, e maiores recursos computacionais são necessários para cada um. Até hoje, a situação parece um tanto satisfatória para o espectro hadrônico e o cálculo dos propagadores de glúons e fantasmas, mas os espectros de glueball e híbridos ainda são uma questão questionada em vista da observação experimental de tais estados exóticos. De fato, a ressonância σ^[10][11] não é vista em nenhum desses cálculos de rede e interpretações contrastantes foram apresentadas. Esta é uma questão amplamente debatida.

Problemas em aberto

As teorias de Yang–Mills foram recebidas com aceitação geral pela comunidade da física depois que Gerard 't Hooft, em 1972, elaborou sua renormalização, baseando-se em uma formulação do problema elaborada por seu orientador Martinus Veltman.^[12] A renormalizabilidade é obtida mesmo que os bósons de gauge descritos por esta teoria sejam massivos, como na teoria eletrofraca, desde que a massa seja apenas "adquirida", gerada pelo mecanismo de Higgs.

A matemática da teoria de Yang–Mills é um campo de pesquisa muito ativo, produzindo, por exemplo, invariantes de estruturas diferenciáveis em variedades quadridimensionais através do trabalho de Simon Donaldson. Além disso, o campo das teorias de Yang–Mills foi incluído na lista do Clay Mathematics Institute dos "Problemas do Prêmio Millennium". Aqui o problema do prêmio consiste, especialmente, em uma prova da conjectura de que as excitações mais baixas de uma teoria de Yang–Mills pura (ou seja, sem campos de matéria) têm um gap de massa finito em relação ao estado de vácuo. Outro problema em aberto, conectado com esta conjectura, é uma prova da propriedade de confinamento na presença de férmions adicionais.

Na física, o estudo das teorias de Yang–Mills geralmente não começa a partir da análise perturbativa ou métodos analíticos, mas mais recentemente a partir da aplicação sistemática de métodos numéricos às teorias de gauge na rede.

Ver também

Referências

Leitura adicional

Ligações externas

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Yang-Mills field», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
• «Yang–Mills theory». DispersiveWiki. Consultado em 30 de agosto de 2018. Cópia arquivada em 3 de junho de 2021 
• «The Millennium Prize Problems». The Clay Mathematics Institute. Consultado em 24 de novembro de 2008. Cópia arquivada em 16 de janeiro de 2009