Na matemática, uma cúspide (por vezes chamada de espinódio em textos antigos) é um ponto de uma curva onde um ponto em movimento nela precisa de reverter a sua direção. Um exemplo típico é dado na figura. Uma cúspide é assim um tipo de ponto singular de uma curva.^[1][2][3][4]

Para uma curva plana definida por uma equação paramétrica analítica,

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=f(t)\\y&=g(t),\end{aligned}}}$

uma cúspide é um ponto onde ambas as derivadas de ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ são zero, e a derivada direcional, na direção da tangente, muda de sinal (a direção da tangente é a direção do declive ${\displaystyle \lim(g'(t)/f'(t))}$). As cúspides são singularidades locais no sentido de que envolvem apenas um valor do parâmetro ${\displaystyle t}$, em contraste com os pontos de autointerseção, que envolvem mais do que um valor. Nalguns contextos, a condição da derivada direcional pode ser omitida, embora, nesse caso, a singularidade possa parecer um ponto regular.

Para uma curva definida por uma equação implícita

${\displaystyle F(x,y)=0,}$

que seja uma função suave, as cúspides são pontos onde os termos de menor grau da expansão de Taylor de ${\displaystyle F}$ são uma potência de um polinómio linear; no entanto, nem todos os pontos singulares que têm esta propriedade são cúspides. A teoria das séries de Puiseux implica que, se ${\displaystyle F}$ for uma função analítica (por exemplo, um polinómio), uma mudança linear de coordenadas permite que a curva seja parametrizada, numa vizinhança da cúspide, como

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=at^{m}\\y&=S(t),\end{aligned}}}$

onde ${\displaystyle a}$ é um número real, ${\displaystyle m}$ é um inteiro par positivo e ${\displaystyle S(t)}$ é uma série de potências de ordem ${\displaystyle k}$ (grau do termo não nulo de menor grau) maior que ${\displaystyle m}$. O número ${\displaystyle m}$ é por vezes chamado de ordem ou multiplicidade da cúspide, e é igual ao grau da parte não nula de menor grau de ${\displaystyle F}$. Nalguns contextos, a definição de cúspide é restrita ao caso de cúspides de ordem dois — isto é, o caso em que ${\displaystyle m=2}$.

As definições para curvas planas e curvas definidas implicitamente foram generalizadas por René Thom e Vladimir Arnold para curvas definidas por funções diferenciáveis: uma curva tem uma cúspide num ponto se existir um difeomorfismo de uma vizinhança do ponto no espaço ambiente, que mapeia a curva sobre uma das cúspides definidas acima.

Classificação em geometria diferencial

Considere uma função de valor real suave de duas variáveis, digamos ${\displaystyle f(x,y)}$, em que ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ são números reais. Então ${\displaystyle f}$ é uma função do plano para a reta. O espaço de todas essas funções suaves sofre a ação do grupo de difeomorfismos do plano e dos difeomorfismos da reta, ou seja, de mudanças difeomórficas de coordenadas tanto na fonte como no alvo. Esta ação divide todo o espaço de funções em classes de equivalência, ou seja, órbitas da ação de grupo.

Uma de tais famílias de classes de equivalência é denotada por ${\displaystyle A_{k}^{\pm }}$, onde ${\displaystyle k}$ é um número inteiro não negativo. Diz-se que uma função ${\displaystyle f}$ é do tipo ${\displaystyle A_{k}^{\pm }}$ se se encontrar na órbita de ${\displaystyle x^{2}\pm y^{k+1}}$, isto é, se existir uma mudança difeomórfica de coordenada na fonte e no destino que leve ${\displaystyle f}$ a uma destas formas. Diz-se que estas formas simples ${\displaystyle x^{2}\pm y^{k+1}}$ dão as formas normais para as singularidades do tipo ${\displaystyle A_{k}^{\pm }}$. Note que as ${\displaystyle A_{2n}^{+}}$ são as mesmas que as ${\displaystyle A_{2n}^{-}}$, uma vez que a mudança difeomórfica de coordenada ${\displaystyle (x,y)\to (x,-y)}$ na fonte leva ${\displaystyle x^{2}+y^{k+1}}$ para ${\displaystyle x^{2}-y^{2n+1}}$. Logo, podemos retirar o ± da notação ${\displaystyle A_{2n}^{\pm }}$.

As cúspides são então dadas pelos conjuntos de nível zero dos representantes das classes de equivalência ${\displaystyle A_{2n}}$, onde ${\displaystyle n\geq 1}$ é um número inteiro. ^{[carece de fontes?]}

Exemplos

• Uma cúspide ordinária é dada por ${\displaystyle x^{2}-y^{3}=0}$, isto é, o conjunto de nível zero de uma singularidade do tipo ${\displaystyle A_{2}}$. Seja ${\displaystyle f(x,y)}$ uma função suave de ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ e assuma, por simplicidade, que ${\displaystyle f(0,0)=0}$. Então, uma singularidade do tipo ${\displaystyle A_{2}}$ de ${\displaystyle f}$ em ${\displaystyle (0,0)}$ pode ser caracterizada por:
  1. Ter uma parte quadrática degenerada, isto é, os termos quadráticos na série de Taylor de ${\displaystyle f}$ formam um quadrado perfeito, digamos ${\displaystyle L(x,y)^{2}}$, onde ${\displaystyle L(x,y)}$ é linear em ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, e
  2. ${\displaystyle L(x,y)}$ não divide os termos cúbicos na série de Taylor de ${\displaystyle f(x,y)}$.
• Uma cúspide ranfóide denotava originalmente uma cúspide tal que ambos os ramos se encontravam no mesmo lado da tangente, tal como na curva de equação ${\displaystyle x^{2}-x^{4}-y^{5}=0}$. Como tal singularidade se encontra na mesma classe diferencial que a cúspide de equação ${\displaystyle x^{2}-y^{5}=0}$, que é uma singularidade do tipo ${\displaystyle A_{4}}$, o termo foi estendido a todas as singularidades desse tipo. Estas cúspides são não-genéricas como cáusticas e frentes de onda. A cúspide ranfóide e a cúspide ordinária são não-difeomórficas. Uma forma paramétrica é ${\displaystyle x=t^{2},y=ax^{4}+x^{5}}$.

Para uma singularidade do tipo ${\displaystyle A_{4}}$, precisamos que ${\displaystyle f}$ tenha uma parte quadrática degenerada (isto dá o tipo ${\displaystyle A_{\geq 2}}$), que ${\displaystyle L}$ divida os termos cúbicos (isto dá o tipo ${\displaystyle A_{\geq 3}}$), de outra condição de divisibilidade (dando o tipo ${\displaystyle A_{\geq 4}}$) e, finalmente, de uma condição de não-divisibilidade (dando o tipo exatamente ${\displaystyle A_{4}}$).

Para ver de onde vêm estas condições de divisibilidade extra, assuma que ${\displaystyle f}$ tem uma parte quadrática degenerada ${\displaystyle L^{2}}$ e que ${\displaystyle L}$ divide os termos cúbicos. Segue-se que a série de Taylor de terceira ordem de ${\displaystyle f}$ é dada por ${\displaystyle L^{2}\pm LQ}$, onde ${\displaystyle Q}$ é quadrático em ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$. Podemos completar o quadrado para mostrar que ${\displaystyle L^{2}\pm LQ=(L\pm Q/2)^{2}-Q^{4}/4}$. Podemos agora fazer uma mudança difeomórfica de variável (neste caso, simplesmente substituímos polinómios por partes lineares linearmente independentes) para que ${\displaystyle (L\pm Q/2)^{2}-Q^{4}/4\to x_{1}^{2}+P_{1}}$, onde ${\displaystyle P_{1}}$ é quártica (ordem quatro) em ${\displaystyle x_{1}}$ e ${\displaystyle y_{1}}$. A condição de divisibilidade para o tipo ${\displaystyle A_{\geq 4}}$ é que ${\displaystyle x_{1}}$ divida ${\displaystyle P_{1}}$. Se ${\displaystyle x_{1}}$ não dividir ${\displaystyle P_{1}}$, então temos o tipo exato ${\displaystyle A_{3}}$ (o conjunto de nível zero aqui é um ponto de osculação). Se ${\displaystyle x_{1}}$ dividir ${\displaystyle P_{1}}$, completamos o quadrado em ${\displaystyle x_{1}^{2}+P_{1}}$ e mudamos as coordenadas para que tenhamos ${\displaystyle x_{2}^{2}+P_{2}}$, em que ${\displaystyle P_{2}}$ é quíntica (ordem cinco) em ${\displaystyle x_{2}}$ e ${\displaystyle y_{2}}$. Se ${\displaystyle x_{2}}$ não dividir ${\displaystyle P_{2}}$, então temos exatamente o tipo ${\displaystyle A_{4}}$, isto é, o conjunto de nível zero será uma cúspide ranfóide.

Aplicações

As cúspides aparecem naturalmente ao projetar num plano uma curva suave no espaço euclidiano tridimensional. Em geral, tal projeção é uma curva cujas singularidades são pontos de autointerseção e cúspides ordinárias. Os pontos de autointerseção surgem quando dois pontos diferentes da curva têm a mesma projeção. As cúspides ordinárias aparecem quando a tangente à curva é paralela à direção da projeção (ou seja, quando a tangente se projeta num único ponto). Ocorrem singularidades mais complicadas quando vários fenómenos ocorrem em simultâneo. Por exemplo, as cúspides ranfóides ocorrem para pontos de inflexão (e para pontos de ondulação) para os quais a tangente é paralela à direção de projeção.

Em muitos casos, e tipicamente em visão computacional e computação gráfica, a curva que é projetada é a curva dos pontos críticos da restrição a um objeto espacial (suave) da projeção. Uma cúspide surge, portanto, como uma singularidade do contorno da imagem do objeto (visão) ou da sua sombra (computação gráfica).

Cáusticas e frentes de onda são outros exemplos de curvas que possuem cúspides visíveis no mundo real.

Ver também

Procure por cúspide no Wikcionário, o dicionário livre.

• Catástrofe de cúspide
• Cardioide

Referências

Bibliografia

• Bruce, J. W.; Giblin, Peter (1984). Curves and Singularities. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-42999-3 
• Porteous, Ian (1994). Geometric Differentiation. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-39063-7 

Ligações externas

• Physicists See The Cosmos In A Coffee Cup