Sp(2n, C)

O grupo simplético sobre o corpo dos números complexos é um grupo de Lie simples, não compacto e simplesmente conexo. A definição deste grupo não inclui conjugados (ao contrário do que se poderia ingenuamente esperar), mas em vez disso é exatamente a mesma definição, exceto pela mudança de corpo.^[3]

Sp(2n, R)

Sp(n, C) é a complexificação do grupo real Sp(2n, R). Sp(2n, R) é um grupo de Lie simples real, conexo e não compacto.^[4] Ele tem um grupo fundamental isomorfo ao grupo dos inteiros sob adição. Como a forma real de um grupo de Lie simples, sua álgebra de Lie é uma álgebra de Lie cindível.

Algumas propriedades adicionais de Sp(2n, R):

• A aplicação exponencial da álgebra de Lie sp(2n, R) para o grupo Sp(2n, R) não é sobrejetiva. No entanto, qualquer elemento do grupo pode ser representado como o produto de duas exponenciais.^[5] Em outras palavras,

${\displaystyle \forall S\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\,\,\exists X,Y\in {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbf {R} )\,\,S=e^{X}e^{Y}.}$

• Para todo S em Sp(2n, R):

${\displaystyle S=OZO'\quad {\text{tal que}}\quad O,O'\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )\cap \operatorname {SO} (2n)\cong U(n)\quad {\text{e}}\quad Z={\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}.}$

A matriz D é definida positiva e diagonal. O conjunto desses Zs forma um subgrupo não compacto de Sp(2n, R), enquanto U(n) forma um subgrupo compacto. Essa decomposição é conhecida como decomposição de 'Euler' ou 'Bloch-Messiah'.^[6][7] Mais propriedades sobre matrizes simpléticas podem ser encontradas na respectiva página da Wikipédia.

• Como um grupo de Lie, Sp(2n, R) possui uma estrutura de variedade. A variedade para Sp(2n, R) é difeomorfa ao produto cartesiano do grupo unitário U(n) com um espaço vetorial de dimensão n(n+1).^[8]

Geradores infinitesimais

Os membros da álgebra de Lie simplética sp(2n, F) são as matrizes hamiltonianas.

Estas são matrizes, ${\displaystyle Q}$, tais que

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}A&B\\C&-A^{\mathrm {T} }\end{pmatrix}}}$

onde B e C são matrizes simétricas. Veja grupo clássico para uma derivação.

Exemplo de matrizes simpléticas

Para Sp(2, R), o grupo de matrizes 2 × 2 com determinante 1, as três matrizes simpléticas com entradas (0, 1) são:^[9]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}}\quad {\text{e}}\quad {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Relação com a geometria simplética

A geometria simplética é o estudo das variedades simpléticas. O espaço tangente a qualquer ponto de uma variedade simplética é um espaço vetorial simplético.^[12] Como notado anteriormente, as transformações que preservam a estrutura de um espaço vetorial simplético formam um grupo e esse grupo é Sp(2n, F), dependendo da dimensão do espaço e do corpo sobre o qual ele está definido.

Um espaço vetorial simplético é, por si só, uma variedade simplética. Uma transformação sob uma ação do grupo simplético é, portanto, em certo sentido, uma versão linearizada de um simplectomorfismo, que é uma transformação mais geral de preservação de estrutura em uma variedade simplética.

Subgrupos importantes

Alguns dos subgrupos principais são:

${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {Sp} (n-1)}$

${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)\supset \operatorname {U} (n)}$

${\displaystyle \operatorname {Sp} (2)\supset \operatorname {O} (4)}$

Por outro lado, ele próprio é um subgrupo de alguns outros grupos:

${\displaystyle \operatorname {SU} (2n)\supset \operatorname {Sp} (n)}$

${\displaystyle \operatorname {F} _{4}\supset \operatorname {Sp} (4)}$

${\displaystyle \operatorname {G} _{2}\supset \operatorname {Sp} (1)}$

Também existem os isomorfismos das álgebras de Lie sp(2) = so(5) e sp(1) = so(3) = su(2).

O grupo simplético unitário ${\displaystyle USp(n)}$ pode ser representado em termos de uma Álgebra de Clifford definida como um produto tensorial de álgebras de quatérnios chamadas de números hiperquaterniônicos. Tem-se que, ${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 2}=\mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} =M_{4\times 4}(\mathbb {R} )=Cl_{3,1}\mathbb {(R)} }$. Assim, ${\displaystyle \mathbb {H} ^{\otimes 3}=M_{4\times 4}(\mathbb {H} )}$ acarreta no grupo simplético compacto ${\displaystyle USp(4)}$.^[16]

Mecânica clássica

O grupo simplético não compacto Sp(2n, R) surge na física clássica como as simetrias das coordenadas canônicas que preservam o colchete de Poisson.

Considere um sistema de n partículas evoluindo sob as equações de Hamilton, cuja posição no espaço de fase em um dado tempo é denotada pelo vetor de coordenadas canônicas,

${\displaystyle \mathbf {z} =(q^{1},\ldots ,q^{n},p_{1},\ldots ,p_{n})^{\mathrm {T} }.}$

Os elementos do grupo Sp(2n, R) são, em certo sentido, transformações canônicas neste vetor, isto é, eles preservam a forma das equações de Hamilton.^[17][18] Se

${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {Z} (\mathbf {z} ,t)=(Q^{1},\ldots ,Q^{n},P_{1},\ldots ,P_{n})^{\mathrm {T} }}$

forem novas coordenadas canônicas, então, com um ponto denotando a derivada em relação ao tempo,

${\displaystyle {\dot {\mathbf {Z} }}=M({\mathbf {z} },t){\dot {\mathbf {z} }},}$

onde

${\displaystyle M(\mathbf {z} ,t)\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbf {R} )}$

para todo t e todo z no espaço de fase.^[19]

Para o caso especial de uma variedade riemanniana, as equações de Hamilton descrevem as geodésicas naquela variedade. As coordenadas ${\displaystyle q^{i}}$ habitam a variedade subjacente, e os momentos ${\displaystyle p_{i}}$ vivem no fibrado cotangente. É por isso que convencionalmente eles são escritos com índices superiores e inferiores; serve para distinguir suas localizações. O hamiltoniano correspondente consiste puramente na energia cinética: é ${\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}$, onde ${\displaystyle g^{ij}}$ é o inverso do tensor métrico ${\displaystyle g_{ij}}$ na variedade riemanniana.^[20][18] Na verdade, o fibrado cotangente de qualquer variedade diferenciável pode receber uma estrutura simplética de forma canônica, com a forma simplética definida como a derivada exterior da 1-forma tautológica.^[21]

Mecânica quântica

Esta página cita fontes, mas que não cobrem todo o conteúdo. Ajude a inserir referências (Encontre fontes: Google (N • L • A • I • WP refs)  • ABW  • CAPES). (outubro de 2019)

Considere um sistema de n partículas cujo estado quântico codifica a sua posição e o seu momento. Essas coordenadas são variáveis contínuas e, portanto, o espaço de Hilbert onde o estado reside é de dimensão infinita. Freqüentemente, isso torna a análise da situação complicada. Uma abordagem alternativa é considerar a evolução dos operadores de posição e momento sob a equação de Heisenberg no espaço de fase.

Construa um vetor de coordenadas canônicas,

${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} =({\hat {q}}^{1},\ldots ,{\hat {q}}^{n},{\hat {p}}_{1},\ldots ,{\hat {p}}_{n})^{\mathrm {T} }.}$

A relação de comutação canônica pode ser expressa simplesmente como

${\displaystyle [\mathbf {\hat {z}} ,\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }]=i\hbar \Omega }$

onde

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}\mathbf {0} &I_{n}\\-I_{n}&\mathbf {0} \end{pmatrix}}}$

e I_n é a matriz identidade de tamanho n × n.

Muitas situações físicas exigem apenas hamiltonianos quadráticos, isto é, hamiltonianos da forma

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\mathbf {\hat {z}} ^{\mathrm {T} }K\mathbf {\hat {z}} }$

onde K é uma matriz simétrica real de tamanho 2n × 2n. Isso acaba sendo uma restrição útil que nos permite reescrever a equação de Heisenberg como

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {\hat {z}} }{dt}}=\Omega K\mathbf {\hat {z}} }$

A solução para esta equação deve preservar a relação de comutação canônica. Pode-se mostrar que a evolução temporal desse sistema é equivalente a uma ação do grupo simplético real, Sp(2n, R), no espaço de fase.