Teoria de grupos → Grupos de Lie Grupos de Lie
Grupos clássicos Linear geral GL(n) Linear especial SL(n) Ortogonal O(n) Ortogonal especial SO(n) Unitário U(n) Especial unitário SU(n) Simplético Sp(n)
Grupos simples de Lie Lista de grupos simples de Lie Clássicos An Bn Cn Dn Excepcionais G2 F4 E6 E7 E8
Outros grupos de Lie Circular Lorentz Poincaré Grupo conformal Difeomorfismo Euclidiano
Álgebras de Lie Mapa exponencial Representação adjunta (grupo álgebra) Forma de Killing Índice Simetria de ponto de Lie Álgebra simples de Lie
Álgebra de Lie semissimples Diagramas de Dynkin Subálgebra de Cartan Sistema de raízes Grupo de Weyl Forma real Complexificação Álgebra segmentada de Lie Álgebra compacta de Lie
Espaços homogêneos Subgrupo fechado Subgrupo parabólico Espaço simétrico Espaço simétrico hermitiano Sistema de raízes restrito root system
Teoria de representação Representação de grupos de Lie Representação de álgebras de Lie
Grupos de Lie na física Física de partículas e teoria de representação Representações do grupo de Lorentz Representações do grupo de Poincaré Representações do grupo Galileano
Cientistas Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Tabela de grupos de Lie
v d e

Na matemática, a noção de uma forma real relaciona objetos definidos sobre o corpo dos números reais e complexos. Uma álgebra de Lie real g₀ é chamada de uma forma real de uma álgebra de Lie complexa g se g for a complexificação de g₀:^[1][2][3]

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\simeq {\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} .}$

A noção de uma forma real também pode ser definida para grupos de Lie complexos. As formas reais de grupos de Lie semissimples e álgebras de Lie complexas foram completamente classificadas por Élie Cartan.

Formas reais para grupos de Lie e grupos algébricos

Usando a correspondência de Lie entre grupos de Lie e álgebras de Lie, a noção de uma forma real pode ser definida para grupos de Lie. No caso dos grupos algébricos lineares, as noções de complexificação e forma real possuem uma descrição natural na linguagem da geometria algébrica.^[4][5]

Classificação

Assim como as álgebras de Lie semissimples complexas são classificadas por diagramas de Dynkin, as formas reais de uma álgebra de Lie semissimples são classificadas por diagramas de Satake, os quais são obtidos a partir do diagrama de Dynkin da forma complexa rotulando alguns vértices de preto (preenchidos) e conectando alguns outros vértices em pares por setas, de acordo com certas regras.

É um fato básico na teoria de estrutura das álgebras de Lie semissimples complexas que toda álgebra desse tipo possui duas formas reais especiais: uma é a forma real compacta' e corresponde a um grupo de Lie compacto sob a correspondência de Lie (seu diagrama de Satake tem todos os vértices pintados de preto), e a outra é a forma real cindida (split real form) e corresponde a um grupo de Lie que está o mais distante possível de ser compacto (seu diagrama de Satake não tem vértices pretos e nem setas). No caso do grupo linear especial complexo SL(n,C), a forma real compacta é o grupo unitário especial SU(n) e a forma real cindida é o grupo linear especial real SL(n,R). A classificação das formas reais de álgebras de Lie semissimples foi realizada por Élie Cartan no contexto dos espaços simétricos riemannianos. Em geral, pode haver mais de duas formas reais.

Suponha que g₀ seja uma álgebra de Lie semissimples sobre o corpo dos números reais. Pelo critério de Cartan, a forma de Killing é não degenerada e pode ser diagonalizada em uma base adequada com as entradas diagonais +1 ou −1. Pela lei da inércia de Sylvester, o número de entradas positivas, ou o índice positivo de inércia, é um invariante da forma bilinear, isto é, não depende da escolha da base diagonalizadora. Este é um número entre 0 e a dimensão de g que é um importante invariante da álgebra de Lie real, chamado de seu índice.

Construção da forma real compacta

Em geral, a construção da forma real compacta utiliza a teoria de estrutura das álgebras de Lie semissimples. Para as álgebras de Lie clássicas, existe uma construção mais explícita.

Seja g₀ uma álgebra de Lie real de matrizes sobre R que seja fechada sob a aplicação transposta,

${\displaystyle X\to {X}^{t}.}$

Então g₀ se decompõe na soma direta da sua parte antissimétrica k₀ e da sua parte simétrica p₀. Esta é a decomposição de Cartan:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {p}}_{0}.}$

A complexificação g de g₀ se decompõe na soma direta de g₀ e ig₀. O espaço vetorial real de matrizes

${\displaystyle {\mathfrak {u}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus i{\mathfrak {p}}_{0}}$

é um subespaço da álgebra de Lie complexa g que é fechado sob os comutadores e consiste em matrizes anti-hermitianas. Segue-se que u₀ é uma subálgebra de Lie real de g, que sua forma de Killing é negativa definida (tornando-a uma álgebra de Lie compacta), e que a complexificação de u₀ é g. Portanto, u₀ é uma forma compacta de g.

Ver também

• Complexificação (grupo de Lie)

Referências

Bibliografia