Parte de uma série sobre
Astrodinâmica
Mecânica orbital
Elementos orbitais Apside Argumento do periastro Excentricidade Inclinação Anomalia média Nós orbitais Semieixo maior Anomalia verdadeira
Tipos de órbitas de dois corpos, por excentricidade Órbita circular Órbita elíptica Órbita de transferência (Órbita de transferência de Hohmann Transferência bielíptica) Trajetória parabólica Trajetória hiperbólica Trajetória radial Decaimento orbital
Equações Fricção dinâmica Velocidade de escape Equação de Kepler Leis de Kepler Período orbital Velocidade orbital Gravidade superficial Energia orbital específica Equação de Vis-viva
Mecânica celestial
Influências gravitacionais Baricentro Esfera de Hill Perturbações Esfera de influência
Problema dos n-corpos Pontos de Lagrange (Órbita de halo) Órbita de Lissajous Órbita de Lyapunov
Engenharia e eficiência
Engenharia de pré-voo Proporção de massa Fração de carga útil Fração de massa do propelente Equação de foguete de Tsiolkovski
Medidas de eficiência Gravidade assistida Efeito Oberth
v d e

Na astronáutica, a órbita de transferência de Hohmann ([ˈhoʊmən]) é uma manobra orbital utilizada para transferir uma espaçonave entre duas órbitas de diferentes altitudes ao redor de um corpo central. Por exemplo, uma transferência de Hohmann pode ser usada para elevar a órbita de um satélite de uma órbita terrestre baixa para uma órbita geoestacionária. No caso idealizado, a órbita inicial e a órbita alvo são ambas circulares e coplanares. A manobra é realizada colocando a nave em uma órbita de transferência elíptica que é tangente tanto à órbita inicial quanto à órbita alvo. A manobra utiliza duas queimas de motor impulsivas: a primeira estabelece a órbita de transferência, e a segunda ajusta a órbita para corresponder ao alvo.

A manobra de Hohmann muitas vezes usa a menor quantidade de impulso possível (que consome uma quantidade proporcional de delta-v, e portanto de propelente) para realizar a transferência, mas requer um tempo de viagem relativamente mais longo do que transferências de impulso mais alto. Em alguns casos, onde uma órbita é muito maior que a outra, uma transferência bi-elíptica pode usar ainda menos impulso, ao custo de um tempo de viagem ainda maior.

A manobra recebeu o nome de Walter Hohmann, o cientista alemão que publicou uma descrição dela em seu livro de 1925 Die Erreichbarkeit der Himmelskörper (A Acessibilidade dos Corpos Celestes).^[1] Hohmann foi influenciado em parte pelo autor alemão de ficção científica Kurd Lasswitz e o seu livro de 1897 Dois Planetas.

Quando utilizada para viagens entre corpos celestes, uma órbita de transferência de Hohmann exige que os pontos de partida e destino estejam em locais específicos de suas órbitas um em relação ao outro. Missões espaciais que usam uma transferência de Hohmann devem esperar que esse alinhamento necessário ocorra, o que abre uma janela de lançamento. Para uma missão entre a Terra e Marte, por exemplo, essas janelas de lançamento ocorrem a cada 26 meses. Uma órbita de transferência de Hohmann também determina um tempo fixo necessário para viajar entre os pontos de partida e destino; para uma viagem Terra-Marte, este tempo de viagem é de cerca de 9 meses. Quando a transferência é realizada entre órbitas próximas a corpos celestes com força gravitacional significativa, geralmente muito menos delta-v é necessário, visto que o efeito Oberth pode ser empregado para as queimas.

Elas também são frequentemente utilizadas para estas situações, porém transferências de baixa energia que levam em consideração as limitações de empuxo dos motores reais, e tiram proveito dos poços de gravidade de ambos os planetas, podem ser mais eficientes no consumo de combustível.^[2][3][4]

Exemplo

O diagrama mostra uma órbita de transferência de Hohmann para levar uma espaçonave de uma órbita circular mais baixa para uma mais alta. É uma órbita elíptica que é tangente tanto à órbita circular inferior que a espaçonave deve deixar (ciano, rotulada como 1 no diagrama) quanto à órbita circular superior que deve atingir (vermelho, rotulada como 3 no diagrama). A órbita de transferência (amarelo, rotulada como 2 no diagrama) é iniciada ao acionar o motor da espaçonave para adicionar energia e elevar o apoastro. Quando a espaçonave atinge o apoastro, um segundo acionamento do motor adiciona energia para elevar o periastro, colocando a espaçonave na órbita circular maior.

Devido à reversibilidade das órbitas, uma órbita de transferência de Hohmann similar pode ser usada para trazer uma espaçonave de uma órbita mais alta para uma mais baixa; neste caso, o motor da espaçonave é acionado na direção oposta à sua trajetória atual, desacelerando a espaçonave e reduzindo o periastro da órbita de transferência elíptica até a altitude da órbita alvo mais baixa. O motor então é acionado novamente na distância inferior para desacelerar a espaçonave, inserindo-a na órbita circular inferior. A órbita de transferência de Hohmann baseia-se em duas mudanças instantâneas de velocidade. É necessário combustível extra para compensar o fato de que as ignições levam tempo; isso é minimizado ao usar motores de alto empuxo para minimizar a duração das ignições. Para transferências em órbita da Terra, as duas queimas são chamadas de queima de perigeu e queima de apogeu (ou chute de apogeu^[5]); mais genericamente, para corpos que não são a Terra, eles são denominados queimas de periastro e apoastro. Alternativamente, a segunda queima para circularizar a órbita pode ser referida como uma queima de circularização.

Cálculo

Para um pequeno corpo orbitando outro corpo muito maior, tal como um satélite orbitando a Terra, a energia total do corpo menor é a soma de sua energia cinética e energia potencial, e essa energia total também é igual a metade do potencial na distância média ${\displaystyle a}$ (o semieixo maior): $${\displaystyle E={\frac {mv^{2}}{2}}-{\frac {GMm}{r}}={\frac {-GMm}{2a}}.}$$

Resolver esta equação para a velocidade resulta na equação vis-viva, $${\displaystyle v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),}$$ onde:

• ${\displaystyle v}$ é a velocidade de um corpo em órbita,
• ${\displaystyle \mu =GM}$ é o parâmetro gravitacional padrão do corpo primário, assumindo que ${\displaystyle M+m}$ não é significativamente maior que ${\displaystyle M}$ (o que torna ${\displaystyle v_{M}\ll v}$), (para a Terra, este é μ~3,986E14 m³ s⁻²)
• ${\displaystyle r}$ é a distância do corpo em órbita a partir do foco primário,
• ${\displaystyle a}$ é o semieixo maior da órbita do corpo.

Portanto, a variação de velocidade (Δv) requerida para a transferência de Hohmann pode ser calculada como a seguir, sob a suposição de impulsos instantâneos: $${\displaystyle \Delta v_{1}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{1}}}}\left({\sqrt {\frac {2r_{2}}{r_{1}+r_{2}}}}-1\right),}$$ para entrar na órbita elíptica em ${\displaystyle r=r_{1}}$ a partir da órbita circular ${\displaystyle r_{1}}$, onde ${\displaystyle r_{2}}$ é o afélio da órbita elíptica resultante, e $${\displaystyle \Delta v_{2}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}}}}\left(1-{\sqrt {\frac {2r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}\right),}$$ para sair da órbita elíptica em ${\displaystyle r=r_{2}}$ para a órbita circular ${\displaystyle r_{2}}$, onde ${\displaystyle r_{1}}$ e ${\displaystyle r_{2}}$ são respectivamente os raios das órbitas circulares de partida e de chegada; o menor (maior) de ${\displaystyle r_{1}}$ e ${\displaystyle r_{2}}$ corresponde à distância do periastro (distância do apoastro) da órbita de transferência elíptica de Hohmann. Tipicamente, ${\displaystyle \mu }$ é fornecido em unidades de m³/s², portanto certifique-se de usar metros, e não quilômetros, para ${\displaystyle r_{1}}$ e ${\displaystyle r_{2}}$. O ${\displaystyle \Delta v}$ total é então:

$${\displaystyle \Delta v_{\text{total}}=\Delta v_{1}+\Delta v_{2}.}$$

Seja movendo-se para uma órbita mais alta ou mais baixa, pela terceira lei de Kepler, o tempo levado para transferir entre as órbitas é

$${\displaystyle t_{\text{H}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {4\pi ^{2}a_{\text{H}}^{3}}{\mu }}}=\pi {\sqrt {\frac {(r_{1}+r_{2})^{3}}{8\mu }}}}$$ (metade do período orbital para toda a elipse), onde ${\displaystyle a_{\text{H}}}$ é o comprimento do semieixo maior da órbita de transferência de Hohmann.

Em aplicação à viagem de um corpo celeste para outro é crucial iniciar a manobra no momento em que os dois corpos estiverem alinhados adequadamente. Considerando que a velocidade angular do alvo seja $${\displaystyle \omega _{2}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{2}^{3}}}},}$$ o alinhamento angular α (em radianos) no momento de início entre o objeto de origem e o objeto alvo deve ser $${\displaystyle \alpha =\pi -\omega _{2}t_{\text{H}}=\pi \left(1-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}+1\right)^{3}}}\right).}$$

Exemplo

Considere uma órbita de transferência geoestacionária, iniciando em r₁ = 6.678 km (altitude de 300 km) e terminando em uma órbita geoestacionária com r₂ = 42.164 km (altitude de 35.786 km).

Na órbita circular menor a velocidade é de 7,73 km/s; na maior, 3,07 km/s. Na órbita elíptica intermediária a velocidade varia de 10,15 km/s no perigeu a 1,61 km/s no apogeu.

Portanto o Δv para a primeira queima é 10,15 − 7,73 = 2,42 km/s, para a segunda queima 3,07 − 1,61 = 1,46 km/s, e para ambas juntas 3,88 km/s.

Isto é maior que o Δv necessário para uma órbita de escape: 10,93 − 7,73 = 3,20 km/s. Aplicar um Δv na órbita terrestre baixa (LEO) de apenas 0,78 km/s a mais (3,20 − 2,42) daria ao foguete a velocidade de escape, o que é menos do que o Δv de 1,46 km/s necessário para circularizar a órbita geossíncrona. Isto ilustra o efeito Oberth, em que a grandes velocidades o mesmo Δv provê mais energia orbital específica, e o aumento de energia é maximizado se gastarmos o Δv o mais rápido possível, em vez de gastar uma parte, ser desacelerado pela gravidade, e então gastar mais um pouco para superar a desaceleração (certamente, o objetivo de uma órbita de transferência de Hohmann é outro).

Pior cenário, delta-v máximo

Como o exemplo acima demonstra, o Δv necessário para realizar uma transferência de Hohmann entre duas órbitas circulares não é o maior possível quando o raio de destino for infinito. (A velocidade de escape é √2 vezes a velocidade orbital, portanto o Δv necessário para escapar é √2 − 1 (41,4%) da velocidade orbital.) O Δv exigido é máximo (53,0% da velocidade orbital menor) quando o raio da órbita maior for 15,5817... vezes o da órbita menor.^[10] Este número é a raiz positiva de x³ − 15x² − 9x − 1 = 0, a qual é ${\textstyle 5+4\,{\sqrt {7}}\cos \left({1 \over 3}\arctan {{\sqrt {3}} \over 37}\right)}$. Para razões de órbita maiores, o Δv requerido para a segunda queima decresce mais rápido do que o da primeira aumenta.

Aplicação à viagem interplanetária

Quando utilizada para mover uma espaçonave da órbita de um planeta para a órbita de outro, o efeito Oberth permite que se utilize um delta-v menor do que a soma dos delta-v para manobras separadas para escapar do primeiro planeta, seguido por uma transferência de Hohmann para o segundo planeta, seguido pela inserção em uma órbita ao redor do outro planeta.

Por exemplo, considere uma espaçonave viajando da Terra a Marte. No início de sua jornada, a espaçonave já terá uma certa velocidade e energia cinética associadas com sua órbita em torno da Terra. Durante a ignição, o motor do foguete aplica seu delta-v, mas a energia cinética aumenta de acordo com uma lei quadrática, até ser suficiente para escapar do potencial gravitacional do planeta, e então queima mais com o propósito de ganhar energia suficiente para entrar na órbita de transferência de Hohmann (ao redor do Sol). Uma vez que o motor do foguete consegue fazer uso da energia cinética inicial do propelente, muito menos delta-v é necessário acima do necessário para alcançar a velocidade de escape, e a situação ótima ocorre quando a queima de transferência é feita na altitude mínima (periastro baixo) sobre o planeta. O delta-v necessário é de apenas 3,6 km/s, somente em torno de 0,4 km/s a mais que o exigido para escapar da Terra, muito embora isso resulte na espaçonave viajando a 2,9 km/s mais rápido que a Terra enquanto se dirige a Marte (ver tabela abaixo).

No outro extremo, a espaçonave necessita desacelerar para que a gravidade de Marte a capture. Esta queima de captura deve idealmente ser realizada em baixa altitude para também se tirar o melhor proveito do efeito Oberth. Portanto, quantidades relativamente pequenas de empuxo nos dois extremos da viagem são necessárias para organizar a transferência, quando comparado com a situação de espaço livre.

No entanto, em qualquer transferência de Hohmann, o alinhamento dos dois planetas em suas órbitas é um fator crucial – o planeta de destino e a espaçonave precisam chegar ao mesmo ponto nas suas respectivas órbitas ao redor do Sol no mesmo momento. Essa exigência de alinhamento dá origem ao conceito das janelas de lançamento.

O termo órbita de transferência lunar (LTO, do inglês *lunar transfer orbit*) é usado para a Lua.

É possível aplicar a fórmula providenciada acima a fim de calcular o Δv em km/s necessário para ingressar numa órbita de transferência de Hohmann visando a chegada a diferentes destinos a partir da Terra (presumindo-se órbitas circulares para os planetas). Na presente tabela, a coluna entitulada "Δv para ingressar na órbita de Hohmann a partir da órbita da Terra" informa a diferença da velocidade da Terra até a velocidade necessária para o ingresso na elipse de Hohmann cuja extremidade oposta estará à distância do Sol almejada. A coluna sob a designação "Altitude na LEO" denota a velocidade necessária (em um referencial não rotativo centralizado na Terra) quando se estiver a 300 km acima da superfície da Terra. A qual é obtida adicionando-se à energia cinética específica o quadrado da velocidade de escape (10,93 km/s) referente a essa altitude. A coluna "LEO" corresponde simplesmente à velocidade prévia subtraindo a velocidade orbital na LEO, que é de 7,73 km/s.

Note que, na maioria das vezes, o Δv partindo da LEO é menor que o Δv exigido para entrar em uma órbita de Hohmann saindo da órbita da Terra.

Para se alcançar o Sol, na verdade não há necessidade de se usar um Δv de 24 km/s. Pode-se usar 8,8 km/s para ir a uma grande distância do Sol, em seguida usar um Δv insignificante para levar o momento angular a zero e, então, cair no Sol. O que também é conhecido como uma transferência bi-elíptica, a qual é uma sequência de duas transferências de Hohmann. Além disso, a tabela não fornece os valores que se aplicariam ao utilizar a Lua para uma assistência gravitacional. Existe ainda a possibilidade de se utilizar um planeta, como Vênus, que é o mais simples de se alcançar, a fim de ajudar a alcançar demais planetas ou o Sol.

Comparação com outras transferências

Ver também

• Transferência bi-elíptica
• Equivalente em delta-v
• Órbita de transferência geoestacionária
• Órbita halo
• Órbita de Lissajous
• Lista de órbitas
• Mecânica orbital

Citações

Fontes gerais e citadas

Leitura adicional