Modelo de Thomson do átomo

O modelo predominante da estrutura atômica antes dos experimentos de Rutherford foi concebido por J. J. Thomson.^[2]: Thomson havia descoberto o elétron através de seu trabalho sobre raios catódicos^[3] e propôs que eles existiam dentro dos átomos, e que uma corrente elétrica é o salto de elétrons de um átomo para um adjacente em uma série. Logicamente, tinha que haver uma quantidade correspondente de carga positiva para equilibrar a carga negativa dos elétrons e mantê-los unidos. Sem saber qual era a fonte dessa carga positiva, ele propôs tentativamente que a carga positiva estava em toda parte do átomo, adotando uma forma esférica por simplicidade.^[2]:[4] Thomson imaginou que o equilíbrio das forças eletrostáticas distribuiria os elétrons ao longo dessa esfera de maneira mais ou menos uniforme. Thomson também acreditava que os elétrons poderiam se mover dentro dessa esfera e, a esse respeito, comparou a substância da esfera a um líquido.^[5] A esfera positiva era mais uma abstração do que algo material. Ele não propôs uma partícula subatômica de carga positiva, uma contraparte do elétron.

Thomson nunca conseguiu desenvolver um modelo completo e estável que pudesse prever qualquer uma das outras propriedades conhecidas do átomo, como espectros de emissão e valências.^[6] O cientista japonês Hantaro Nagaoka rejeitou o modelo de Thomson com o argumento de que cargas opostas não podem penetrar uma na outra.^[7] Ele propôs, em vez disso, que os elétrons orbitam a carga positiva como os anéis ao redor de Saturno.^[8] No entanto, esse modelo também era conhecido por ser instável.^[9]:

Partículas alfa e o átomo de Thomson

Uma partícula alfa é uma partícula de matéria com carga positiva que é emitida espontaneamente por certos elementos radioativos. As partículas alfa são tão pequenas que são invisíveis, mas podem ser detectadas com o uso de telas fosforescentes, chapas fotográficas ou eletrodos. Rutherford as descobriu em 1899.^[10] Em 1906, estudando como feixes de partículas alfa são desviados por campos magnéticos e elétricos, deduziu que eram essencialmente átomos de hélio desprovidos de dois elétrons.^[11] Thomson e Rutherford não sabiam nada sobre a estrutura interna das partículas alfa. Na época, os cientistas não sabiam exatamente quantos elétrons um átomo de hélio tinha (nem os átomos de outros elementos), então um átomo de hélio desprovido de dois elétrons ainda poderia ter dez ou mais, tanto quanto sabiam.^[9]:

O modelo de Thomson era consistente com as evidências experimentais disponíveis na época. Thomson estudou o espalhamento de partículas beta, que mostrava deflexões de pequeno ângulo modeladas como interações da partícula com muitos átomos em sucessão. Cada interação da partícula com os elétrons do átomo e a esfera de fundo positiva levaria a uma pequena deflexão, mas muitas dessas colisões poderiam se acumular.^[9]: Esperava-se que o espalhamento de partículas alfa fosse semelhante.^[9]: A equipe de Rutherford mostraria que o modelo de espalhamento múltiplo não era necessário: o espalhamento único a partir de uma carga compacta no centro do átomo seria responsável por todos os dados de espalhamento.^[9]:

Rutherford, Geiger e Marsden

Ernest Rutherford

Hans Geiger

Ernest Marsden

Ernest Rutherford era Langworthy Professor de Física na Victoria University of Manchester^[12]: (hoje Universidade de Manchester). Ele já havia recebido inúmeras honrarias por seus estudos sobre radiação. Ele descobriu a existência dos raios alfa, raios beta e raios gama e provou que estes eram consequência da desintegração de átomos. Em 1906, recebeu a visita do físico alemão Hans Geiger e ficou tão impressionado que pediu a Geiger que ficasse e o ajudasse em sua pesquisa. Ernest Marsden era um estudante de graduação em física que estudava sob a orientação de Geiger.^[13]

Em 1908, Rutherford procurou determinar a carga e a massa das partículas alfa de forma independente. Para isso, ele queria contar o número de partículas alfa e medir sua carga total; a razão daria a carga de uma única partícula alfa. As partículas alfa são pequenas demais para serem vistas, mas Rutherford conhecia a descarga de Townsend, um efeito em cascata da ionização que leva a um pulso de corrente elétrica. Com base nesse princípio, Rutherford e Geiger projetaram um simples dispositivo de contagem que consistia em dois eletrodos em um tubo de vidro contendo gás de baixa pressão (veja #Experimento de 1908). Cada partícula alfa que passasse pelo gás criaria um pulso de corrente elétrica que poderia ser detectado e contado. Foi o precursor do contador Geiger-Müller.^[9]:

O contador que Geiger e Rutherford construíram mostrou-se pouco confiável porque as partículas alfa estavam sendo desviadas com muita força por suas colisões com as moléculas de ar dentro da câmara de detecção. As trajetórias altamente variáveis das partículas alfa significavam que nem todas geravam o mesmo número de íons ao passar pelo gás, produzindo assim leituras erráticas. Isso intrigou Rutherford porque ele pensava que as partículas alfa eram pesadas demais para serem desviadas tão fortemente. Rutherford pediu a Geiger que investigasse o quanto a matéria poderia espalhar os raios alfa.^[14]

Os experimentos que eles projetaram envolviam bombardear uma folha metálica com um feixe de partículas alfa para observar como a folha as espalhava em relação à sua espessura e material. Eles usaram uma tela fosforescente para medir as trajetórias das partículas. Cada impacto de uma partícula alfa na tela produzia um pequeno clarão de luz. Geiger trabalhava em um laboratório escuro por horas a fio, contando essas pequenas cintilações usando um microscópio.^[15] Para a folha metálica, eles testaram vários metais, mas preferiram o ouro porque podiam tornar a folha muito fina, já que o ouro é o metal mais maleável.^[16]: Como fonte de partículas alfa, a substância de escolha de Rutherford foi o rádio, que é milhares de vezes mais radioativo que o urânio.^[17]

Teoria do espalhamento e o novo modelo atômico

Em um experimento de 1909, Geiger e Marsden descobriram que as folhas metálicas podiam espalhar algumas partículas alfa em todas as direções, às vezes mais de 90°.^[18]: Isso deveria ter sido impossível de acordo com o modelo de Thomson.^[18]: Segundo o modelo de Thomson, todas as partículas alfa deveriam ter atravessado diretamente.

No modelo de Thomson do átomo, a esfera de carga positiva que preenche o átomo e encapsula os elétrons é permeável; os elétrons poderiam se mover dentro dela, afinal. Portanto, uma partícula alfa deveria ser capaz de atravessar essa esfera se as forças eletrostáticas no interior o permitissem. O próprio Thomson não estudou como uma partícula alfa poderia ser espalhada em tal colisão com um átomo, mas ele estudou o espalhamento de partículas beta.^[9]: Ele calculou que uma partícula beta sofreria apenas uma deflexão muito pequena ao passar por um átomo,^[19] e mesmo depois de passar por muitos átomos em sequência, a deflexão total ainda deveria ser menor que 1°.^[20] As partículas alfa normalmente têm muito mais momento do que as partículas beta e, portanto, também deveriam sofrer apenas a menor deflexão.^[21]

O espalhamento extremo observado forçou Rutherford a revisar o modelo do átomo.^[22]: O problema no modelo de Thomson era que as cargas eram muito difusas para produzir uma força eletrostática suficientemente forte para causar tal repulsão. Portanto, elas tinham que ser mais concentradas. No novo modelo de Rutherford, a carga positiva não preenche todo o volume do átomo, mas constitui um núcleo minúsculo pelo menos 10.000 vezes menor que o átomo como um todo. Toda essa carga positiva concentrada em um volume muito menor produz um campo elétrico muito mais forte perto de sua superfície. O núcleo também carregava a maior parte da massa do átomo. Isso significava que ele poderia desviar partículas alfa em até 180°, dependendo de quão perto elas passassem. Os elétrons circundam esse núcleo, espalhados por todo o volume do átomo. Como sua carga negativa é difusa e sua massa combinada é baixa, eles têm um efeito desprezível na partícula alfa.^[23]

Para verificar seu modelo, Rutherford desenvolveu um modelo científico para prever a intensidade das partículas alfa nos diferentes ângulos em que eram espalhadas ao sair da folha de ouro, supondo que toda a carga positiva estivesse concentrada no centro do átomo. Este modelo foi validado em um experimento realizado em 1913. Seu modelo explicava tanto os resultados de espalhamento beta de Thomson quanto os resultados de espalhamento alfa de Geiger e Marsden.^[9]:

Legado

Houve pouca reação ao agora famoso artigo de Rutherford de 1911 nos primeiros anos.^[12]: O artigo tratava principalmente do espalhamento de partículas alfa em uma época anterior a que o espalhamento de partículas fosse uma ferramenta primária para a física. As técnicas de probabilidade que ele usou e a confusa coleção de observações envolvidas não eram imediatamente convincentes.^[9]:

Física nuclear

Ver artigos principais: Física nuclear e Espalhamento

Os primeiros impactos foram incentivar um novo foco em experimentos de espalhamento. Por exemplo, os primeiros resultados de uma câmara de nuvens, por C.T.R. Wilson, mostram o espalhamento de partículas alfa e também surgiram em 1911.^[24][9]: Com o tempo, o espalhamento de partículas tornou-se um aspecto importante da física teórica e experimental;^[25]: O conceito de "seção de choque" de Rutherford agora domina as descrições da física experimental de partículas.^[2]: O historiador Silvan S. Schweber sugere que a abordagem de Rutherford marcou a mudança para ver todas as interações e medições na física como processos de espalhamento.^[26]: Após o núcleo – um termo que Rutherford introduziu em 1912^[12]: – ter se tornado o modelo aceito para o núcleo dos átomos, a análise de Rutherford do espalhamento de partículas alfa criou um novo ramo da física, a física nuclear.^[12]:

Espalhamento de partículas alfa: experimentos de 1906 e 1908

Os primeiros passos de Rutherford em direção à sua descoberta da natureza do átomo vieram de seu trabalho para entender as partículas alfa.^[22]:[25]: Em 1906, Rutherford notou que partículas alfa que passavam através de folhas de mica eram desviadas pelas folhas em até 2 graus. Rutherford colocou uma fonte radioativa em um tubo selado terminando em fendas estreitas seguidas por uma chapa fotográfica. Metade da fenda foi coberta por uma fina camada de mica. Um campo magnético ao redor do tubo foi alterado a cada 10 minutos para rejeitar o efeito dos raios beta, conhecidos por serem sensíveis a campos magnéticos.^[23] O tubo foi evacuado em diferentes graus e uma série de imagens foi registrada. Na pressão mais baixa, a imagem da fenda aberta era nítida, enquanto as imagens da fenda coberta por mica ou da fenda aberta em pressões mais altas eram imprecisas. Rutherford explicou esses resultados como espalhamento de partículas alfa^[9]: em um artigo publicado em 1906.^[35] Ele já entendia as implicações da observação para os modelos de átomos: "tal resultado revela claramente o fato de que os átomos da matéria devem ser o assento de forças elétricas muito intensas".^[35]:[22]

Um artigo de 1908 de Geiger, On the Scattering of α-Particles by Matter, descreve o seguinte experimento. Ele construiu um longo tubo de vidro, com quase dois metros de comprimento. Em uma extremidade do tubo havia uma quantidade de "emanação de rádio" (R) como fonte de partículas alfa.^[22]: A extremidade oposta do tubo foi coberta com uma tela fosforescente (Z). No meio do tubo havia uma fenda de 0,9 mm de largura. As partículas alfa de R passavam pela fenda e criavam uma mancha de luz brilhante na tela. Um microscópio (M) foi usado para contar as cintilações na tela e medir sua dispersão. Geiger bombeou todo o ar para fora do tubo para que as partículas alfa ficassem desobstruídas, e elas deixaram uma imagem nítida e compacta na tela que correspondia à forma da fenda. Geiger então deixou entrar um pouco de ar no tubo, e a mancha brilhante tornou-se mais difusa. Geiger então bombeou o ar e colocou uma ou duas folhas de ouro sobre a fenda em AA. Isso também fez com que a mancha de luz na tela se espalhasse mais, com maior dispersão para duas camadas.^[22]: Este experimento demonstrou que tanto o ar quanto a matéria sólida podem espalhar marcadamente as partículas alfa.^[36][22]:

Reflexão de partículas alfa: o experimento de 1909

Os resultados dos experimentos iniciais de espalhamento de partículas alfa eram confusos. A dispersão angular da partícula na tela variava muito com a forma do aparelho e sua pressão interna. Rutherford sugeriu que Ernest Marsden, um estudante de graduação em física que estudava sob a orientação de Geiger, procurasse por partículas alfa difusamente refletidas ou retroespalhadas, mesmo que isso não fosse esperado. O primeiro refletor rudimentar de Marsden deu resultados, então Geiger o ajudou a criar um aparelho mais sofisticado. Eles conseguiram demonstrar que 1 em cada 8000 colisões de partículas alfa eram reflexões difusas.^[22]: Embora essa fração fosse pequena, era muito maior do que o modelo atômico de Thomson poderia explicar.^[9]:

Nestes experimentos, partículas alfa emitidas por uma fonte radioativa (A) eram observadas ricocheteando em um refletor metálico (R) e em uma tela fluorescente (S) do outro lado de uma placa de chumbo (P).

Esses resultados foram publicados em um artigo de 1909, On a Diffuse Reflection of the α-Particles,^[37] onde Geiger e Marsden descreveram o experimento pelo qual provaram que as partículas alfa podem de fato ser espalhadas por mais de 90°. Em seu experimento, prepararam um pequeno tubo de vidro cônico (AB) contendo "emanação de rádio" (radônio), "rádio A" (rádio propriamente dito) e "rádio C" (bismuto-214); sua extremidade aberta foi selada com mica. Este era seu emissor de partículas alfa. Em seguida, montaram uma placa de chumbo (P), atrás da qual colocaram uma tela fluorescente (S). O tubo foi mantido no lado oposto da placa, de modo que as partículas alfa que ele emitia não pudessem atingir diretamente a tela. Eles notaram algumas cintilações na tela porque algumas partículas alfa contornaram a placa ricocheteando em moléculas de ar. Em seguida, colocaram uma folha metálica (R) ao lado da placa de chumbo. Testaram com chumbo, ouro, estanho, alumínio, cobre, prata, ferro e platina. Apontaram o tubo para a folha para ver se as partículas alfa ricocheteariam nela e atingiriam a tela do outro lado da placa e observaram um aumento no número de cintilações na tela. Contando as cintilações, observaram que metais com maior massa atômica, como o ouro, refletiam mais partículas alfa do que os mais leves, como o alumínio.^[37][22]:

Geiger e Marsden queriam então estimar o número total de partículas alfa que foram refletidas. A montagem anterior era inadequada para fazer isso porque o tubo continha várias substâncias radioativas (rádio mais seus produtos de decaimento) e, portanto, as partículas alfa emitidas tinham alcances variados, e porque era difícil para eles determinar a taxa em que o tubo estava emitindo partículas alfa. Desta vez, eles colocaram uma pequena quantidade de rádio C (bismuto-214) na placa de chumbo, que ricocheteava em um refletor de platina (R) e atingia a tela. Eles concluíram que aproximadamente 1 em cada 8.000 das partículas alfa que atingiam o refletor ricocheteava na tela.^[37] Ao medir a reflexão de folhas finas, mostraram que o efeito era devido a um fenômeno de volume e não de superfície.^[23] Em contraste com o vasto número de partículas alfa que passam sem obstáculos através de uma folha metálica, esse pequeno número de reflexões de grande ângulo era um resultado estranho^[2]: que significava que forças muito grandes estavam envolvidas.^[23]

Dependência do material e espessura da folha: o experimento de 1910

Um artigo de 1910^[38] de Geiger, The Scattering of the α-Particles by Matter, descreve um experimento para medir como o ângulo mais provável pelo qual uma partícula alfa é desviada varia com o material através do qual ela passa, a espessura do material e a velocidade das partículas alfa. Ele construiu um tubo de vidro hermético do qual o ar foi bombeado para fora. Em uma extremidade havia um bulbo (B) contendo "emanação de rádio" (radônio-222). Por meio de mercúrio, o radônio em B foi bombeado para cima através do tubo de vidro estreito cuja extremidade em A foi tampada com mica. Na outra extremidade do tubo havia uma tela fluorescente de sulfeto de zinco (S). O microscópio que ele usou para contar as cintilações na tela foi fixado a uma escala milimétrica vertical com um vernier, o que permitiu a Geiger medir precisamente onde os clarões de luz apareciam na tela e, assim, calcular os ângulos de deflexão das partículas. As partículas alfa emitidas de A eram estreitadas em um feixe por um pequeno orifício circular em D. Geiger colocou uma folha metálica no caminho dos raios em D e E para observar como a zona de clarões mudava. Ele testou ouro, estanho, prata, cobre e alumínio. Ele também pôde variar a velocidade das partículas alfa colocando folhas extras de mica ou alumínio em A.^[38]

A partir das medições que fez, Geiger chegou às seguintes conclusões:^[18]:

• o ângulo mais provável de deflexão aumenta com a espessura do material
• o ângulo mais provável de deflexão é proporcional à massa atômica da substância
• o ângulo mais provável de deflexão diminui com a velocidade das partículas alfa

O artigo de Rutherford Structure of the Atom (1911)

Considerando os resultados desses experimentos, Rutherford publicou um artigo histórico em 1911 intitulado "The Scattering of α and β Particles by Matter and the Structure of the Atom" no qual mostrou que o espalhamento único a partir de uma carga elétrica muito pequena e intensa prevê principalmente espalhamento de pequeno ângulo com pequenas, mas mensuráveis, quantidades de retroespalhamento.^[2]:[1] Para fins de seus cálculos matemáticos, ele assumiu que essa carga central era positiva, mas admitiu que não podia provar isso e que teria que esperar por outros experimentos para desenvolver sua teoria.^[1]:

Rutherford desenvolveu uma equação matemática que modelava como a folha deveria espalhar as partículas alfa se toda a carga positiva e a maior parte da massa atômica estivessem concentradas em um ponto no centro de um átomo. A partir dos dados de espalhamento, Rutherford estimou que a carga central q_n era de cerca de +100 unidades.^[39]

O artigo de Rutherford não discute nenhum arranjo de elétrons além de discussões sobre o espalhamento do modelo de pudim de ameixas de Thomson e do modelo saturniano de Nagaoka.^[9]: Ele mostra que os resultados de espalhamento previstos pelo modelo de Thomson também são explicados pelo espalhamento único, mas que o modelo de Thomson não explica o espalhamento de grande ângulo. Ele diz que o modelo de Nagaoka, tendo uma carga compacta, concordaria com os dados de espalhamento. Mas o modelo saturniano havia sido anteriormente rejeitado por outras razões. O chamado modelo atômico de Rutherford com elétrons em órbita não foi proposto por Rutherford no artigo de 1911.^[9]:

Confirmando a teoria do espalhamento: o experimento de 1913

Em um artigo de 1913, The Laws of Deflexion of α Particles through Large Angles,^[40] Geiger e Marsden descrevem uma série de experimentos pelos quais procuraram verificar experimentalmente a equação de Rutherford. A equação de Rutherford previa que o número de cintilações por minuto s que seria observado em um dado ângulo Φ deveria ser proporcional a:^[18]:

1. cossec⁴⁠Φ/2⁠
2. espessura da folha t
3. magnitude do quadrado da carga central Q_n
4. 2</sup>)²"}},"i":0}}]}'/>⁠1/(mv²)²⁠

Seu artigo de 1913 descreve quatro experimentos pelos quais provaram cada uma dessas quatro relações.^[25]:

Este aparelho foi projetado para medir com precisão o padrão de espalhamento das partículas alfa produzido pela folha metálica (F). O microscópio (M) e a tela (S) foram fixados a um cilindro giratório e podiam ser movidos em um círculo completo ao redor da folha.^[40]

Para testar como o espalhamento variava com o ângulo de deflexão (ou seja, se s ∝ csc⁴⁠Φ/2⁠). Geiger e Marsden construíram um aparelho que consistia em um cilindro metálico oco montado em uma plataforma giratória. Dentro do cilindro havia uma folha metálica (F) e uma fonte de radiação contendo radônio (R), montada em uma coluna destacada (T) que permitia que o cilindro girasse independentemente. A coluna também era um tubo pelo qual o ar era bombeado para fora do cilindro. Um microscópio (M) com sua lente objetiva coberta por uma tela fluorescente de sulfeto de zinco (S) penetrava a parede do cilindro e apontava para a folha metálica. Eles testaram com folhas de prata e ouro. Girando a mesa, o microscópio podia ser movido em um círculo completo ao redor da folha, permitindo a Geiger observar e contar partículas alfa desviadas em até 150°. Corrigindo o erro experimental, Geiger e Marsden descobriram que o número de partículas alfa que são desviadas por um dado ângulo Φ é de fato proporcional a csc⁴⁠Φ/2⁠.^[40]

Este aparelho foi usado para medir como o padrão de espalhamento variava em relação à espessura da folha, ao peso atômico do material e à velocidade das partículas alfa. O disco giratório no centro tinha seis orifícios que podiam ser cobertos com folha.^[40]

Geiger e Marsden testaram então como o espalhamento variava com a espessura da folha (ou seja, se s ∝ t). Eles construíram um disco (S) com seis orifícios perfurados. Os orifícios foram cobertos com folha metálica (F) de espessura variável, ou nenhuma para controle. Este disco foi então selado em um anel de latão (A) entre duas placas de vidro (B e C). O disco podia ser girado por meio de uma haste (P) para trazer cada janela para frente da fonte de partículas alfa (R). No painel de vidro traseiro havia uma tela de sulfeto de zinco (Z). Geiger e Marsden descobriram que o número de cintilações que apareciam na tela era de fato proporcional à espessura, desde que a espessura fosse pequena.^[40]

Geiger e Marsden reutilizaram o aparelho para medir como o padrão de espalhamento variava com o quadrado da carga nuclear (ou seja, se s ∝ Q_n²). Geiger e Marsden não sabiam qual era a carga positiva do núcleo de seus metais (eles tinham acabado de descobrir que o núcleo existia), mas assumiram que era proporcional ao peso atômico, então testaram se o espalhamento era proporcional ao quadrado do peso atômico. Geiger e Marsden cobriram os orifícios do disco com folhas de ouro, estanho, prata, cobre e alumínio. Eles mediram o poder de parada de cada folha, igualando-o a uma espessura equivalente de ar. Eles contaram o número de cintilações por minuto que cada folha produzia na tela. Eles dividiram o número de cintilações por minuto pelo equivalente de ar da respectiva folha e depois dividiram novamente pela raiz quadrada do peso atômico (Geiger e Marsden sabiam que para folhas de igual poder de parada, o número de átomos por unidade de área é proporcional à raiz quadrada do peso atômico). Assim, para cada metal, Geiger e Marsden obtiveram o número de cintilações que um número fixo de átomos produz. Para cada metal, eles então dividiram esse número pelo quadrado do peso atômico e descobriram que as razões eram aproximadamente as mesmas. Assim, provaram que s ∝ Q_n².^[40]

Finalmente, Geiger e Marsden testaram como o espalhamento variava com a velocidade das partículas alfa (ou seja, se s ∝ 4</sup>"}},"i":0}}]}'/>⁠1/v⁴⁠). Usando o mesmo aparelho, eles retardaram as partículas alfa colocando folhas extras de mica na frente da fonte de partículas alfa. Eles descobriram que, dentro da faixa de erro experimental, o número de cintilações era de fato proporcional a 4</sup>"}},"i":0}}]}'/>⁠1/v⁴⁠.^[40]

Carga positiva no núcleo: 1913

Em seu artigo de 1911 (veja acima), Rutherford assumiu que a carga central do átomo era positiva, mas uma carga negativa teria se ajustado igualmente bem ao seu modelo de espalhamento.^[41] Em um artigo de 1913, Rutherford declarou que o "núcleo" (como agora o chamava) era de fato carregado positivamente, com base no resultado de experimentos explorando o espalhamento de partículas alfa em vários gases.^[42]

Em 1917, Rutherford e seu assistente William Kay começaram a explorar a passagem de partículas alfa através de gases como hidrogênio e nitrogênio. Neste experimento, eles dispararam um feixe de partículas alfa através de hidrogênio e posicionaram cuidadosamente seu detector – uma tela de sulfeto de zinco – logo além do alcance das partículas alfa, que foram absorvidas pelo gás. Eles ainda assim captaram partículas carregadas de algum tipo causando cintilações na tela. Rutherford interpretou isso como partículas alfa atirando os núcleos de hidrogênio para frente na direção do feixe, não para trás.^[41]

Estimativa do tamanho máximo do núcleo

Rutherford começa sua análise considerando uma colisão frontal entre a partícula alfa e o átomo. Isso estabelecerá a distância mínima entre eles, um valor que será usado em todos os seus cálculos.^[1]:

Supondo que não haja forças externas e que inicialmente as partículas alfa estejam longe do núcleo, a lei do inverso do quadrado entre as cargas na partícula alfa e no núcleo dá a energia potencial ganha pela partícula ao se aproximar do núcleo. Para colisões frontais entre partículas alfa e o núcleo, toda a energia cinética da partícula alfa é convertida em energia potencial e a partícula para e volta.^[18]:

Onde a partícula para a uma distância ${\displaystyle r_{\text{min}}}$ do centro, a energia potencial corresponde à energia cinética original:^[43]:[44]:

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=k{\frac {q_{\text{a}}q_{\text{g}}}{r_{\text{min}}}}}$$

onde

$${\displaystyle k={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}}$$

Reorganizando:^[1]: $${\displaystyle r_{\text{min}}=k{\frac {2q_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv^{2}}}}$$

Para uma partícula alfa:

• m (massa) = 6,64424×10⁻²⁷ kg = 3,7273×10⁹ eV/c²
• q_a (para a partícula alfa) = 2 × 1,6×10⁻¹⁹ C = 3,2×10⁻¹⁹ C
• q_g (para o ouro) = 79 × 1,6×10⁻¹⁹ C = 1,27×10⁻¹⁷ C
• v (velocidade inicial) = 2×10⁷ m/s (para este exemplo)

A distância da partícula alfa ao centro do núcleo (r_min) neste ponto é um limite superior para o raio nuclear. Substituindo estes valores, obtém-se cerca de 2,7×10⁻¹⁴ m, ou 27 fm. (O raio verdadeiro é cerca de 7,3 fm.) O raio verdadeiro do núcleo não é recuperado nestes experimentos porque as partículas alfa não têm energia suficiente para penetrar mais de 27 fm do centro do núcleo, conforme observado, quando o raio do núcleo de um átomo de ouro é 7,3 fm.

O artigo de Rutherford de 1911^[1] começou com uma fórmula ligeiramente diferente adequada para colisão frontal com uma esfera de carga positiva:

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=NeE\cdot \left({\frac {1}{b}}-{\frac {3}{2R}}+{\frac {b^{2}}{2R^{3}}}\right)}$$

Na notação de Rutherford, e é a carga elementar, N é o número de carga do núcleo (hoje também conhecido como número atômico), e E é a carga de uma partícula alfa. A convenção na época de Rutherford era medir a carga em unidades eletrostáticas, distância em centímetros, força em dinas e energia em ergs. A convenção moderna é medir a carga em coulombs, distância em metros, força em newtons e energia em joules. O uso de coulombs requer o uso da constante de Coulomb (k) na equação. Rutherford usou b como a distância do ponto de retorno (chamada r_min acima) e R é o raio do átomo. O primeiro termo é a repulsão de Coulomb usada acima. Esta forma assume que a partícula alfa poderia penetrar na carga positiva. Na época do artigo de Rutherford, o modelo de pudim de ameixas de Thomson propunha uma carga positiva com o raio de um átomo, milhares de vezes maior que o r_min encontrado acima. A Figura 1 mostra como esse potencial é concentrado em comparação com o tamanho do átomo. Muitos dos resultados de Rutherford são expressos em termos dessa distância do ponto de retorno r_min, simplificando os resultados e limitando a necessidade de unidades a este cálculo do ponto de retorno.

Espalhamento único por um núcleo pesado

A partir de seus resultados para uma colisão frontal, Rutherford sabe que o espalhamento de partículas alfa ocorre perto do centro de um átomo, num raio 10.000 vezes menor que o átomo. Os elétrons têm efeito desprezível. Ele começa assumindo que não há perda de energia na colisão, ou seja, ele ignora o recuo do átomo alvo. Ele revisitará cada uma dessas questões mais adiante em seu artigo.^[1]: Sob estas condições, a partícula alfa e o átomo interagem através de uma força central, um problema físico estudado pela primeira vez por Isaac Newton.^[45] Uma força central atua apenas ao longo de uma linha entre as partículas e quando a força varia com o inverso do quadrado, como a força de Coulomb neste caso, uma teoria detalhada foi desenvolvida sob o nome de problema de Kepler.^[46]: As soluções bem conhecidas para o problema de Kepler são chamadas de órbitas e as órbitas não ligadas são hipérboles. Assim, Rutherford propôs que a partícula alfa terá uma trajetória hiperbólica na força repulsiva perto do centro do átomo, como mostrado na Figura 2.

Para aplicar as soluções de trajetória hiperbólica ao problema da partícula alfa, Rutherford expressa os parâmetros da hipérbole em termos da geometria do espalhamento e das energias. Ele começa com a conservação do momento angular. Quando a partícula de massa ${\displaystyle m}$ e velocidade inicial ${\displaystyle v_{0}}$ está longe do átomo, seu momento angular em torno do centro do átomo será ${\displaystyle mbv_{0}}$ onde ${\displaystyle b}$ é o parâmetro de impacto, que é a distância lateral entre o caminho da partícula alfa e o átomo. No ponto de maior aproximação, rotulado A na Figura 2, o momento angular será ${\displaystyle mr_{\text{A}}v_{\text{A}}}$. Portanto^[9]:

$${\displaystyle mbv_{0}=mr_{\text{A}}v_{\text{A}}}$$

$${\displaystyle v_{\text{A}}={\frac {bv_{0}}{r_{\text{A}}}}}$$

Rutherford também aplica a lei da conservação da energia entre os mesmos dois pontos:

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv_{0}^{2}={\tfrac {1}{2}}mv_{\text{A}}^{2}+{\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{r_{\text{A}}}}}$$

O lado esquerdo e o primeiro termo do lado direito são as energias cinéticas da partícula nos dois pontos; o último termo é a energia potencial devido à força de Coulomb entre a partícula alfa e o átomo no ponto de maior aproximação (A). q_a é a carga da partícula alfa, q_g é a carga do núcleo, e k é a constante de Coulomb.^[47]

A equação da energia pode então ser reorganizada assim:

$${\displaystyle v_{\text{A}}^{2}=v_{0}^{2}\left(1-{\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{{\tfrac {1}{2}}mv_{0}^{2}r_{\text{A}}}}\right)}$$

Por conveniência, as variáveis físicas não geométricas nesta equação^[1]: podem ser contidas em uma variável ${\displaystyle r_{\text{min}}}$, que é o ponto de maior aproximação em um cenário de colisão frontal^[1]: que foi explorado em uma seção anterior deste artigo:

$${\displaystyle r_{\text{min}}={\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{{\tfrac {1}{2}}mv_{0}^{2}}}}$$

Isso permite que Rutherford simplifique a equação da energia para:

$${\displaystyle v_{\text{A}}^{2}=v_{0}^{2}\left(1-{\frac {r_{\text{min}}}{r_{\text{A}}}}\right)}$$

Isso deixa duas equações simultâneas para ${\displaystyle v_{\text{A}}^{2}}$, a primeira derivada da equação de conservação do momento e a segunda da equação de conservação da energia. Eliminando ${\displaystyle v_{\text{A}}}$ e ${\displaystyle v_{0}}$ obtém-se uma nova fórmula para ${\displaystyle r_{\text{min}}}$:

$${\displaystyle v_{\text{A}}^{2}={\frac {b^{2}v_{0}^{2}}{r_{\text{A}}^{2}}}=v_{0}^{2}\left(1-{\frac {r_{\text{min}}}{r_{\text{A}}}}\right)}$$

$${\displaystyle r_{\text{min}}=r_{\text{A}}-{\frac {b^{2}}{r_{\text{A}}}}}$$

O próximo passo é encontrar uma fórmula para ${\displaystyle r_{\text{A}}}$. Da Figura 2, ${\displaystyle r_{\text{A}}}$ é a soma de duas distâncias relacionadas à hipérbole, SO e OA. Usando a seguinte lógica, estas distâncias podem ser expressas em termos do ângulo ${\displaystyle \Phi }$ e do parâmetro de impacto ${\displaystyle b}$.

A excentricidade de uma hipérbole é um valor que descreve a forma da hipérbole. Pode ser calculada dividindo a distância focal pelo comprimento do semieixo maior, que conforme a Figura 2 é ⁠SO/OA⁠. Como pode ser visto na Figura 3, a excentricidade também é igual a ${\displaystyle \sec \Phi }$, onde ${\displaystyle \Phi }$ é o ângulo entre o eixo maior e a assíntota.^[48]: Portanto:

$${\displaystyle {\frac {\text{SO}}{\text{OA}}}=\sec \Phi }$$

Como pode ser deduzido da Figura 2, a distância focal SO é

$${\displaystyle {\text{SO}}=b\cdot \csc \Phi }$$

e, portanto,

$${\displaystyle {\text{OA}}={\frac {\text{SO}}{\sec \Phi }}=b\cdot \cot \Phi }$$

Com estas fórmulas para SO e OA, a distância ${\displaystyle r_{\text{A}}}$ pode ser escrita em termos de ${\displaystyle \Phi }$ e simplificada usando uma identidade trigonométrica conhecida como fórmula de meio-ângulo:^[39]:

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{A}}&={\text{SO}}+{\text{OA}}\\\\&=b\cdot \csc \Phi +b\cdot \cot \Phi \\\\&=b\cdot \cot {\frac {\Phi }{2}}\end{aligned}}}$$

Aplicando uma identidade trigonométrica conhecida como fórmula de ângulo duplo da cotangente e a equação anterior para ${\displaystyle r_{\text{A}}}$ dá uma relação mais simples entre as variáveis físicas e geométricas:

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{min}}&=r_{\text{A}}-{\frac {b^{2}}{r_{\text{A}}}}\\\\&=b\cdot \cot {\frac {\Phi }{2}}-{\frac {b^{2}}{b\cdot \cot {\frac {\Phi }{2}}}}\\\\&=b{\frac {\cot ^{2}{\frac {\Phi }{2}}-1}{\cot {\frac {\Phi }{2}}}}\\[1ex]\\&=2b\cdot \cot \Phi \end{aligned}}}$$

O ângulo de espalhamento da partícula é ${\displaystyle \theta =\pi -2\Phi }$ e, portanto, ${\displaystyle \Phi ={\tfrac {\pi -\theta }{2}}}$. Com a ajuda de uma identidade trigonométrica conhecida como fórmula de reflexão, a relação entre θ e b pode ser resolvida para:^[1]:

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\text{min}}&=2b\cdot \cot {\frac {\pi -\theta }{2}}\\[1ex]\\&=2b\cdot \tan {\frac {\theta }{2}}\\[1ex]\\\cot {\frac {\theta }{2}}&={\frac {2b}{r_{\text{min}}}}\end{aligned}}}$$

que pode ser reorganizada para dar

$${\displaystyle \theta =2\arctan {\frac {r_{\text{min}}}{2b}}=2\arctan {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv_{0}^{2}b}}}$$

Rutherford fornece alguns valores ilustrativos como mostrado nesta tabela:^[1]:

Tabela de ângulos de desvio de Rutherford

${\displaystyle {\tfrac {b}{r_{\text{min}}}}}$	10	5	2	1	0.5	0.25	0.125
${\displaystyle \theta }$	5.7°	11.4°	28°	53°	90°	127°	152°

A abordagem de Rutherford para este problema de espalhamento continua sendo um tratamento padrão em livros didáticos^{[49]:[50]:[51]:} sobre mecânica clássica.

Intensidade versus ângulo

Para comparar com os experimentos, a relação entre o parâmetro de impacto e o ângulo de espalhamento precisa ser convertida em probabilidade versus ângulo. A seção de choque de espalhamento dá a intensidade relativa por ângulos:^[46]: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\Omega )\mathrm {d} \Omega ={\frac {{\text{número de partículas espalhadas no ângulo sólido }}\mathrm {d} \Omega {\text{ por unidade de tempo}}}{\text{intensidade incidente}}}}$$

Na mecânica clássica, o ângulo de espalhamento ${\displaystyle \theta }$ é unicamente determinado pela energia cinética inicial das partículas incidentes e pelo parâmetro de impacto b.^[46]: Portanto, o número de partículas espalhadas em um ângulo entre ${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle \theta +\mathrm {d} \theta }$ deve ser o mesmo que o número de partículas com parâmetros de impacto associados entre b e b + db. Para uma intensidade incidente I, isso implica:

$${\displaystyle 2\pi Ib\cdot \left|\mathrm {d} b\right|=-2\pi \cdot \sigma (\theta )\cdot I\cdot \sin(\theta )\cdot \mathrm {d} \theta }$$

Assim, a seção de choque depende do ângulo de espalhamento como:

$${\displaystyle \sigma (\theta )=-{\frac {b}{\sin \theta }}\cdot {\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} \theta }}}$$

Usando o parâmetro de impacto como uma função do ângulo, b(θ), a partir do resultado de espalhamento único acima, produz a seção de choque de espalhamento de Rutherford:^[46]:

$${\displaystyle \sigma (\Theta )={\frac {\csc ^{4}{\frac {\Theta }{2}}}{4}}\cdot {\left({\frac {2q_{\text{n}}q_{\text{a}}}{mv^{2}}}\right)}^{2}}$$

• ${\displaystyle \sigma (\theta )}$ = o número relativo de partículas alfa espalhadas pelo ângulo de deflexão ${\displaystyle \theta }$
• q_n = carga positiva do núcleo atômico
• q_a = carga positiva das partículas alfa
• m = massa de uma partícula alfa
• v = velocidade da partícula alfa

Esta fórmula previu os resultados que Geiger mediu no ano seguinte. A probabilidade de espalhamento em ângulos pequenos excede em muito a probabilidade em ângulos maiores, refletindo o minúsculo núcleo cercado por espaço vazio. No entanto, para encontros próximos raros, ocorre espalhamento de grande ângulo com apenas um único alvo.^[52]:

No final de seu desenvolvimento da fórmula da seção de choque, Rutherford enfatiza que os resultados se aplicam ao espalhamento único e, portanto, exigem medições com folhas finas. Para folhas finas, o grau de espalhamento é proporcional à espessura da folha, de acordo com as medições de Geiger.^[1]

Comparação com os resultados de JJ Thomson

Em 1910, Thomson apresentou um modelo para o espalhamento de partículas beta^[19] que previa que, no modelo de pudim de ameixas, uma partícula beta poderia ser espalhada por um ângulo significativo após uma série de colisões atômicas. O modelo de Rutherford produzia um espalhamento mais forte ao concentrar a carga positiva do átomo em um ponto central, em vez de espalhá-la sobre o volume do átomo. Então, uma colisão com apenas um átomo poderia produzir um efeito maior em uma partícula beta do que o modelo de Thomson. Rutherford completou sua análise incluindo os efeitos da densidade e da espessura da folha e concluiu que folhas finas são governadas pelo espalhamento de colisão única, não pelo espalhamento de colisão múltipla.^[9]:

Mas o modelo de espalhamento de Thomson não poderia explicar o grande espalhamento quando se tratava de partículas alfa, que têm muito mais momento do que as partículas beta. Dúvida Mesmo com colisões múltiplas, a possibilidade de uma partícula alfa ser desviada em qualquer quantidade mensurável é tão baixa que se torna insignificante.

Recuo do alvo

A análise de Rutherford assumiu que as trajetórias das partículas alfa viravam no centro do átomo, mas a velocidade de saída não era reduzida.^[2]: Isso equivale a assumir que a carga concentrada no centro tinha massa infinita ou estava ancorada no lugar. Rutherford discute as limitações dessa suposição comparando o espalhamento de átomos mais leves, como o alumínio, com átomos mais pesados, como o ouro. Se a carga concentrada for mais leve, ela recuará da interação, ganhando momento enquanto a partícula alfa perde momento e, consequentemente, desacelera.^[39]:

Os tratamentos modernos analisam este tipo de espalhamento de Coulomb no referencial do centro de massa. As seis coordenadas das duas partículas (também chamadas de "corpos") são convertidas em três coordenadas relativas entre as duas partículas e três coordenadas do centro de massa em movimento no espaço (chamado referencial do laboratório). A interação ocorre apenas nas coordenadas relativas, dando um problema equivalente de um corpo^[46]: exatamente como Rutherford resolveu, mas com diferentes interpretações para a massa e o ângulo de espalhamento.

Em vez da massa da partícula alfa, a fórmula mais precisa incluindo o recuo usa a massa reduzida:^[46]:

$${\displaystyle \mu ={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}$$

Para o espalhamento de partículas alfa de Rutherford pelo ouro, com massa 197, a massa reduzida é muito próxima da massa da partícula alfa:

$${\displaystyle \mu _{\text{Au}}={\cfrac {4\times 197}{4+197}}=3.92\approx 4}$$

Para o alumínio mais leve, com massa 27, o efeito é maior:

$${\displaystyle \mu _{\text{Al}}={\cfrac {4\times 27}{4+27}}=3.48}$$

uma diferença de 13% na massa. Rutherford observa essa diferença e sugere que experimentos sejam realizados com átomos mais leves.^[1]:

O segundo efeito é uma mudança no ângulo de espalhamento. O ângulo no sistema de coordenadas relativas ou referencial do centro de massa precisa ser convertido para um ângulo no referencial do laboratório.^[46]: No referencial do laboratório, denotado por um subscrito L, o ângulo de espalhamento para um potencial central geral é

$${\displaystyle \tan \Theta _{\text{L}}={\frac {\sin \Theta }{\cos \Theta +{\frac {m_{1}}{m_{2}}}}}}$$

Para uma partícula pesada como o ouro usado por Rutherford, o fator ${\displaystyle {\tfrac {m_{1}}{m_{2}}}={\tfrac {4}{197}}\approx 0.02}$ pode ser desprezado em quase todos os ângulos. Então, os ângulos de laboratório e relativos são os mesmos, ${\displaystyle \Theta _{\text{L}}\approx \Theta }$.

A mudança no ângulo de espalhamento altera a fórmula da seção de choque diferencial necessária para comparação com o experimento. Em geral, o cálculo é complexo. Para o caso do espalhamento de partículas alfa por átomos de ouro, este efeito na seção de choque é bastante pequeno.^[46]:

Núcleos muito leves e energias mais altas

Em 1919, Rutherford analisou o espalhamento de partículas alfa por átomos de hidrogênio,^[53] mostrando os limites da fórmula de 1911, mesmo com correções para massa reduzida.^[54]: Problemas semelhantes com pequenos desvios para hélio, magnésio, alumínio^[55] levaram à conclusão de que a partícula alfa estava penetrando no núcleo nesses casos. Isso permitiu as primeiras estimativas do tamanho dos núcleos atômicos.^[2]: Experimentos posteriores baseados na aceleração de partículas alfa por cícrotron atingindo núcleos mais pesados forneceram dados para a análise da interação entre a partícula alfa e a superfície nuclear. No entanto, em energias que empurram as partículas alfa para mais fundo, elas são fortemente absorvidas pelos núcleos, uma interação mais complexa.^[54]:[25]:

Mecânica quântica

O tratamento de Rutherford do espalhamento de partículas alfa parece depender da mecânica clássica e, no entanto, as partículas são de dimensões subatômicas. No entanto, os aspectos críticos da teoria dependem, em última análise, da conservação do momento e da energia. Esses conceitos se aplicam igualmente nos regimes clássico e quântico: as ideias de espalhamento desenvolvidas por Rutherford se aplicam a problemas de espalhamento elástico subatômico, como o espalhamento nêutron-próton.^[46]:

Deflexão parcial pela esfera positiva

Considere uma partícula alfa passando por uma esfera de carga puramente positiva (sem elétrons) com um raio R. A esfera é muito mais pesada do que a partícula alfa, de modo que não consideramos o recuo. Sua posição é fixa. A partícula alfa passa perto o suficiente para roçar a borda da esfera, que é onde o campo elétrico da esfera é mais forte.

Uma seção anterior deste artigo apresentou uma equação que modela como uma partícula carregada incidente é desviada por outra partícula carregada em uma posição fixa (ou seja, massa infinita).

$${\displaystyle \theta =2\arctan {\frac {kq_{1}q_{2}}{mv^{2}b}}}$$

Esta equação pode ser usada para calcular o ângulo de deflexão no caso especial da Figura 4, definindo o parâmetro de impacto b com o mesmo valor do raio da esfera R. Contanto que a partícula alfa não penetre na esfera, não há diferença entre uma esfera de carga e uma carga pontual, um resultado matemático conhecido como teorema da casca.

• q_g = carga positiva do átomo de ouro = 79 q_e = 1,26×10⁻¹⁷ C
• q_a = carga da partícula alfa = 2 q_e = 3,20×10⁻¹⁹ C
• R = raio do átomo de ouro = 1,44×10⁻¹⁰ m
• v = velocidade da partícula alfa = 1,53×10⁷ m/s
• m = massa da partícula alfa = 6,64×10⁻²⁷ kg
• k = constante de Coulomb = 8,987×10⁹ N·m²/C²

$${\displaystyle \theta _{2}=2\arctan {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv^{2}R}}\approx 0.02{\text{ graus}}}$$

Isso mostra que a maior deflexão possível será muito pequena, a ponto de o caminho da partícula alfa através da esfera positiva de um átomo de ouro ser quase uma linha reta. Portanto, ao calcular a deflexão média, que será ainda menor, trataremos o caminho da partícula através da esfera como uma corda de comprimento L.

Dentro de uma esfera de carga positiva uniformemente distribuída, a força exercida sobre a partícula alfa em qualquer ponto ao longo de seu caminho através da esfera é^[57][58]:

$${\displaystyle F={\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{3}}{R^{3}}}}$$

A componente lateral desta força é

$${\displaystyle F_{\text{y}}={\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{3}}{R^{3}}}\cdot \cos \varphi ={\frac {bkq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{R^{3}}}}$$

A mudança lateral no momento p_y é, portanto,

$${\displaystyle \Delta p_{\text{y}}=F_{\text{y}}t={\frac {bkq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{R^{3}}}\cdot {\frac {L}{v}}}$$

O ângulo de deflexão ${\displaystyle \theta _{2}}$ é dado por

$${\displaystyle \tan \theta _{2}={\frac {\Delta p_{\text{y}}}{p_{\text{x}}}}={\frac {bkq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{R^{3}}}\cdot {\frac {L}{v}}\cdot {\frac {1}{mv}}}$$

onde p_x é o momento horizontal médio, que é primeiro reduzido e depois restaurado à medida que a força horizontal muda de direção à medida que a partícula alfa atravessa a esfera. Como a deflexão é muito pequena, ${\displaystyle \tan \theta _{2}}$ pode ser tratado como igual a ${\displaystyle \theta _{2}}$. O comprimento da corda ${\displaystyle L=2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}}}$, pelo teorema de Pitágoras.

O ângulo de deflexão médio ${\displaystyle {\bar {\theta }}_{2}}$ soma o ângulo para valores de b e L em toda a esfera e divide pela seção transversal da esfera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\theta }}_{2}&={\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}{\frac {bkq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{R^{3}}}\cdot {\frac {2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}}}{v}}\cdot {\frac {1}{mv}}\cdot 2\pi b\cdot \mathrm {d} b\\[1ex]\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv^{2}R}}\end{aligned}}}$$

Isso corresponde à fórmula de Thomson em seu artigo de 1910.

Deflexão parcial pelos elétrons

Considere uma partícula alfa passando por um átomo de raio R ao longo de um caminho de comprimento L. O efeito da esfera positiva é ignorado para isolar o efeito dos elétrons atômicos. Como na esfera positiva, espera-se que a deflexão pelos elétrons seja muito pequena, a ponto de o caminho ser praticamente uma linha reta.

Uma seção anterior deste artigo apresentou uma equação que modela como uma partícula carregada incidente é desviada por outra partícula carregada em uma posição fixa.

$${\displaystyle \theta =2\arctan {\frac {kq_{1}q_{2}}{mv^{2}b}}}$$

m e v são a massa e a velocidade da partícula incidente e b é o parâmetro de impacto.

Para os elétrons dentro de uma distância arbitrária s do caminho da partícula alfa, sua distância média será ⁠s/2⁠. Portanto, a deflexão média por elétron será

$${\displaystyle 2\arctan {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}{\tfrac {s}{2}}}}\approx {\frac {4kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}s}}}$$

onde q_e é a carga elementar. A deflexão líquida média por todos os elétrons dentro deste cilindro arbitrário de efeito ao redor do caminho da partícula alfa é

$${\displaystyle \theta _{1}={\frac {4kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}s}}{\sqrt {N_{0}\pi s^{2}L}}}$$

onde N₀ é o número de elétrons por unidade de volume e ${\displaystyle \pi s^{2}L}$ é o volume deste cilindro.

Tratando L como uma linha reta, ${\displaystyle L=2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}}}$ onde b é a distância desta linha a partir do centro. A média de ${\displaystyle {\sqrt {L}}}$ é, portanto,

$${\displaystyle {\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}{\sqrt {2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}}}}\cdot 2\pi b\cdot \mathrm {d} b={\frac {4}{5}}{\sqrt {2R}}}$$

Para obter a deflexão média ${\displaystyle {\bar {\theta }}_{1}}$, substitua ${\displaystyle {\sqrt {L}}}$ na equação para ${\displaystyle \theta _{1}}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\theta }}_{1}&={\frac {4kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}s}}{\sqrt {N_{0}\pi s^{2}}}\cdot {\frac {4}{5}}{\sqrt {2R}}\\[1ex]\\&={\frac {16}{5}}\cdot {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}R}}{\sqrt {\frac {3N}{2}}}\end{aligned}}}$$

onde N é o número de elétrons no átomo, igual a ${\displaystyle N_{0}{\tfrac {4}{3}}\pi R^{3}}$.

Efeito cumulativo

Aplicando as equações de Thomson descritas acima a uma partícula alfa colidindo com um átomo de ouro, usando os seguintes valores:

• q_g = carga positiva do átomo de ouro = 79 q_e = 1,26×10⁻¹⁷ C
• q_a = carga da partícula alfa = 2 q_e = 3,20×10⁻¹⁹ C
• q_e = carga elementar = 1,602×10⁻¹⁹ C
• R = raio do átomo de ouro = 1,44×10⁻¹⁰ m
• v = velocidade da partícula alfa = 1,53×10⁷ m/s
• m = massa da partícula alfa = 6,64×10⁻²⁷ kg
• k = constante de Coulomb = 8,987×10⁹ N·m²/C²
• N = número de elétrons no átomo de ouro = 79

dá o ângulo parcial médio pelo qual a partícula alfa deve ser desviada pelos elétrons atômicos como:

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{1}={\frac {16}{5}}\cdot {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}R}}{\sqrt {\frac {3N}{2}}}\approx 0.00007{\text{ radianos ou }}0.004{\text{ graus}}}$$

e a deflexão parcial média causada pela esfera positiva é:

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{2}={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv^{2}R}}\approx 0.00013{\text{ radianos ou 0.007 graus}}}$$

A deflexão líquida para uma única colisão atômica é:

$${\displaystyle {\bar {\theta }}={\sqrt {{\bar {\theta }}_{1}^{2}+{\bar {\theta }}_{2}^{2}}}\approx 0.008{\text{ graus}}}$$

Em média, a esfera positiva e os elétrons fornecem uma deflexão muito pequena em uma única colisão. O modelo de Thomson combinou muitos eventos de espalhamento único dos elétrons do átomo e da esfera positiva. Cada colisão pode aumentar ou diminuir o ângulo de espalhamento total. Apenas muito raramente uma série de colisões se alinharia na mesma direção. O resultado é semelhante ao problema estatístico padrão chamado passeio aleatório. Se o ângulo de deflexão médio da partícula alfa em uma única colisão com um átomo é ${\displaystyle {\bar {\theta }}}$, então a deflexão média após n colisões é

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{n}={\bar {\theta }}{\sqrt {n}}}$$

A probabilidade de que uma partícula alfa seja desviada por um total de mais de 90° após n deflexões é dada por:

$${\displaystyle e^{-(90/{\bar {\theta }}_{n})^{2}}}$$

onde e é o número de Euler (≈2,71828...). Uma folha de ouro com uma espessura de 1,5 micrômetros teria cerca de 10.000 átomos de espessura. Se a deflexão média por átomo é 0,008°, a deflexão média após 10.000 colisões seria de 0,8°. A probabilidade de uma partícula alfa ser desviada por mais de 90° será^[58]:

$${\displaystyle e^{-(90/0.8)^{2}}\approx e^{-12656}\approx 10^{-5946}}$$

Embora no modelo de pudim de ameixas de Thomson seja matematicamente possível que uma partícula alfa seja desviada por mais de 90° após 10.000 colisões, a probabilidade de tal evento é tão baixa que é indetectável. Geiger e Marsden não deveriam ter detectado nenhuma partícula alfa retornando no experimento que realizaram em 1909, e no entanto eles detectaram.