Livro I

O Livro I dos Elementos é fundamental para todo o texto.^[4] Ele começa com uma série de 20 definições para conceitos geométricos básicos como pontos, linhas, ângulos e vários polígonos regulares.^[20] Euclides então apresenta 10 suposições (ver tabela, à direita), agrupadas em cinco postulados e cinco noções comuns.^[21] Essas suposições destinam-se a fornecer a base lógica para cada teorema subsequente, ou seja, servem como um sistema axiomático.^[22] As noções comuns dizem respeito exclusivamente à comparação de magnitudes, os tamanhos de objetos geométricos.^[23] Na matemática moderna, essas grandezas seriam tratadas como números reais medindo comprimento de arco, ângulo ou área, e comparadas numericamente, mas Euclides, em vez disso, encontrou maneiras de comparar a magnitude de formas usando operações geométricas, sem interpretar essas grandezas como números.^[24] Enquanto os primeiros quatro postulados são relativamente diretos, o quinto não é. É conhecido como o postulado das paralelas, e a questão de sua independência dos outros quatro postulados tornou-se o foco de uma longa linha de pesquisa que levou ao desenvolvimento da geometria não euclidiana.^[23]

O Livro I também inclui 48 proposições, que podem ser vagamente divididas em: teoremas básicos e construções de geometria plana e congruência de triângulos (1–26), linhas paralelas (27–34), a área de triângulos e paralelogramos (35–45), e o teorema de Pitágoras e seu recíproco (46–48).^[23]

A Proposição 5, que os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais, tornou-se conhecida na Idade Média como a pons asinorum, ou ponte dos asnos, separando os matemáticos que podiam prová-la dos tolos que não podiam.^[25] O Papiro Oxirrinco 29, um papiro do século III d.C., contém fragmentos das proposições 8–11 e 14–25.^[d] As duas últimas proposições do Livro I compreendem a mais antiga prova sobrevivente do teorema de Pitágoras, descrita por Sialaros como "notavelmente delicada".^[16] A figura para o teorema de Pitágoras tornou-se ela própria bem conhecida sob múltiplos nomes: a Cadeira da Noiva, o moinho de vento, ou a cauda do pavão.^[26]

Livro II

O segundo livro foca em área, medida através da quadratura, significando a construção de um quadrado de área igual a uma figura dada. Inclui um precursor geométrico da lei dos cossenos, e culmina na quadratura de retângulos arbitrários.^[23] No final do século XIX e XX, o Livro II foi interpretado por alguns historiadores da matemática como estabelecendo uma "álgebra geométrica", uma expressão da manipulação algébrica de equações lineares e quadráticas em termos de conceitos geométricos de comprimento e área,^[27][28] centrada no caso quadrático do teorema binomial.^[23] Esta interpretação tem sido fortemente debatida desde a década de 1970;^[28] críticos descrevem a caracterização como anacrônica, uma vez que as fundações mesmo da álgebra nascente ocorreram muitos séculos depois.^[16] No entanto, tomadas como declarações sobre geometria, muitas das proposições neste livro são supérfluas para a matemática moderna, pois podem ser subsumidas pelo uso da álgebra.^[29]

A Proposição 11 do Livro II subdivide um segmento de reta dado em extrema e média razão, agora chamada de razão áurea. É a primeira de várias proposições envolvendo esta razão: É mais tarde usada no Livro IV para construir um triângulo áureo e um pentágono regular e no Livro XIII para construir o dodecaedro regular e o icosaedro regular, e estudada como uma razão no Livro VI Proposição 30.^[30][31]

Livro III

O Livro III começa com uma lista de 11 definições, e segue com 37 proposições que lidam com círculos e suas propriedades. A Proposição 1 é sobre encontrar o centro de um círculo. As proposições 2 a 15 dizem respeito a cordas, e círculos intersectantes e tangentes. Retas tangentes a círculos são os assuntos das proposições 16 a 19. Em seguida, estão proposições sobre ângulos inscritos (20 a 22), e sobre cordas, arcos e ângulos (23 a 30), incluindo o teorema do ângulo inscrito relacionando ângulos inscritos a ângulos centrais como proposição 20. As proposições 31 a 34 dizem respeito a ângulos em círculos, incluindo o teorema de Tales de que um ângulo inscrito em um semicírculo é um ângulo reto (parte da proposição 31). As proposições restantes, 35 a 37, dizem respeito a cordas e tangentes que se intersectam; a proposição 35 é o teorema das cordas intersectantes, e a proposição 36 é o teorema da tangente-secante.^[32]

Livro IV

O Livro IV trata quatro problemas sistematicamente para diferentes polígonos: inscrever um polígono dentro de um círculo, circunscrever um polígono a um círculo, inscrever um círculo dentro de um polígono, e circunscrever um círculo a um polígono.^[33] Esses problemas são resolvidos em sequência para triângulos e depois para polígonos regulares construtíveis (isto é, aqueles que têm uma construção com régua e compasso) com 4, 5, 6 e 15 lados.^[4]

Livro V

O Livro V, que é independente dos quatro livros anteriores, diz respeito a razões de magnitudes (intuitivamente, o quanto uma forma é maior ou menor em relação a outra) e a comparação de razões.^[34] Heath e outros tradutores formularam suas primeiras seis proposições em álgebra simbólica, como formas da lei distributiva da multiplicação sobre a divisão e da lei associativa para a multiplicação. No entanto, Leo Corry argumenta que isso é anacrônico e enganoso, porque Euclides não tratava magnitudes como números, nem tomava uma razão como uma operação binária de números para números.^[35]

Grande parte do Livro V foi provavelmente averiguada de matemáticos anteriores, talvez Eudoxo,^[16] embora certas proposições, como V.16, lidando com "alternância" (se a : b :: c : d, então a : c :: b : d) provavelmente são anteriores a Eudoxo.^[36]

Christopher Zeeman argumentou que o foco do Livro V no comportamento das razões sob a adição de magnitudes, e seu consequente fracasso em definir razões de razões, foi uma falha que impediu os gregos de encontrar certos conceitos importantes, como a razão cruzada (central para a geometria projetiva).^[37]

Livro VI

O Livro VI usa a teoria das razões do Livro V no contexto da geometria plana,^[4] especialmente a construção e reconhecimento de figuras semelhantes. É construído quase inteiramente de sua primeira proposição:^[38] "Triângulos e paralelogramos que estão sob a mesma altura estão um para o outro como suas bases". Isto é, se dois triângulos têm a mesma altura, a razão de suas áreas é a mesma que a razão dos comprimentos de seus dois segmentos de base (e analogamente para dois paralelogramos da mesma altura). Esta proposição fornece uma conexão entre razões de comprimentos e razões de áreas.^[39] A Proposição 25 constrói, a partir de quaisquer dois polígonos, um terceiro polígono semelhante ao primeiro e com a mesma área do segundo. Plutarco atribui esta construção a Pitágoras, chamando-a de "mais sutil e mais científica" do que o teorema de Pitágoras. O famoso problema grego antigo da duplicação do cubo, agora conhecido como impossível com compasso e régua, é um caso especial do problema 3D análogo de construir uma figura com uma forma e volume especificados.^[40] O livro termina como começou, conectando dois tipos de razões: razões de ângulos, e razões de comprimentos de arcos circulares, na proposição 33.^[41]

Livro VII

O Livro VII lida com a teoria dos números elementar, e inclui 39 proposições, que podem ser vagamente divididas em: o algoritmo de Euclides, um método para determinar se os números são primos entre si e para encontrar o máximo divisor comum (1–4), frações (5–10), a teoria das proporções para números (11–19), números primos e primos entre si e a teoria dos máximos divisores comuns, (20–32), e mínimos múltiplos comuns (33–39).^[44]

Livro VIII

O tópico do Livro VIII são as progressões geométricas.^[44] Para Euclides, estas eram definidas pela propriedade de estarem em proporção contínua (cada duas magnitudes consecutivas têm a mesma razão) em vez de, como nos tratamentos modernos, por exponenciação (o ${\displaystyle i}$-ésimo termo da progressão tem a forma ${\displaystyle ax^{i}}$ para constantes ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle x}$). Isso permitiu a Euclides evitar a multiplicação de mais de dois valores, mas levou a algumas provas desajeitadas de fatos que a notação exponencial tornaria óbvios.^[45]

A primeira parte do Livro VIII (proposições 1 a 10) lida com a construção e existência de progressões geométricas de inteiros em geral, e a divisibilidade dos membros de uma progressão geométrica entre si. As proposições 11 a 27 lidam com números quadrados e números cúbicos em progressões geométricas, e a relação entre essas progressões especiais e os elementos a dois ou três passos de distância em uma progressão geométrica arbitrária.^[44]

Livro IX

Após continuar as investigações do Livro VIII sobre quadrados e cubos em progressões geométricas,^[44] o Livro IX aplica os resultados dos dois livros precedentes e fornece a infinitude dos números primos (teorema de Euclides, proposição 20), a fórmula para a soma de uma série geométrica finita (proposição 35) e uma construção usando esta soma para números perfeitos pares (proposição 36). Aqui, um número é perfeito se ele é igual à soma de seus divisores próprios, como por exemplo 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.^[4][46] Alhazen conjecturou c. 1000, e no século XVIII Leonhard Euler provou, que esta construção gera todos os números perfeitos pares. Este resultado é o teorema de Euclides–Euler.^[47]

Livro X

Dos Elementos, o livro X é de longe o maior e mais complexo, lidando com (em termos modernos) números irracionais no contexto de magnitudes.^[16][48] A Proposição 9 (como reafirmada em termos modernos) prova a irracionalidade das raízes quadradas de todos os inteiros não quadrados, como ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, a raiz quadrada de 2.^[49] Um lema para a Proposição 29 fornece a fórmula de Euclides para produzir todos os ternos pitagóricos fundamentais.^[50] Adicionalmente, este livro classifica comprimentos irracionais em treze categorias disjuntas, relacionadas à sua construção por várias combinações de outros comprimentos que são inteiros e suas raízes quadradas.^[51] No entanto, Wilbur Knorr adverte que "O estudante que aborda o Livro X de Euclides na esperança de que sua extensão e obscuridade escondam tesouros matemáticos provavelmente ficará desapontado. ... as ideias matemáticas são poucas."^[52]

Em vez de tratar magnitudes como números reais e perguntar se estes são números racionais, Euclides maneja este material em termos da comensurabilidade de comprimentos ou áreas: se dois segmentos de reta ou dois retângulos podem ambos ser medidos por um número inteiro de cópias de uma subunidade comum.^[48] Sua classificação de comprimentos como racionais ou irracionais difere do significado moderno: para Euclides, um segmento de reta é racional quando o quadrado em seu lado tem uma área racional. Isto é, para Euclides, um comprimento como ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ que é a raiz quadrada de uma área racional é ele próprio racional.^[53]

Este livro está conectado a uma curta passagem no diálogo Teeteto de Platão entre Sócrates, Teodoro de Cirene e Teeteto, um matemático mais jovem. Esta passagem discute uma prova de Teodoro de que os inteiros não quadrados de 3 a 17 têm raízes quadradas irracionais (após a descoberta muito anterior da irracionalidade de ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$), a generalização deste resultado para todos os inteiros não quadrados por Teeteto, e uma classificação parcial dos números irracionais (com menos de 13 classes).^[54][55]

Livro XI

O Livro XI generaliza os resultados do livro VI para figuras espaciais: perpendicularidade, paralelismo, volumes e semelhança de paralelepípedos (poliedros com três pares de faces paralelas). As três seções do Livro XI incluem conteúdo sobre: geometria espacial (1–19), ângulos sólidos (20–23) e paralelepípedos (24–37).^[56]

Livro XII

O Livro XII estuda os volumes de cones, pirâmides e cilindros em detalhes usando o método da exaustão, um precursor da integração,^[56] e mostra, por exemplo, que o volume de um cone é um terço do volume do cilindro correspondente.^[57] Ele conclui mostrando que o volume de uma esfera é proporcional ao cubo de seu raio (em linguagem moderna) aproximando seu volume por uma união de muitas pirâmides.^[58]

Livro XIII

O Livro XIII constrói os cinco sólidos platônicos (poliedros regulares) inscritos em uma esfera, compara as razões de suas arestas com o raio da esfera,^[59] e conclui os Elementos provando que estes são os únicos poliedros regulares.^[60]

Geometria não euclidiana

O sistema geométrico estabelecido pelos Elementos dominou o campo por muito tempo; no entanto, hoje esse sistema é frequentemente referido como 'geometria euclidiana' para distingui-lo de outras geometrias não euclidianas descobertas no início do século XIX.^[73]

Uma das influências mais notáveis de Euclides na matemática moderna e, além da matemática, na física moderna e na descoberta da relatividade geral, é a discussão do postulado das paralelas.^[116][117] No Livro I, Euclides lista cinco postulados, o quinto dos quais estipula^[120]

Que, se uma linha reta caindo sobre duas linhas retas fizer os ângulos internos do mesmo lado menores do que dois ângulos retos, as duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente, encontram-se naquele lado no qual estão os ângulos menores do que os dois ângulos retos.

Este postulado atormentou os matemáticos por séculos devido à sua aparente complexidade em comparação com os outros quatro postulados. Muitas tentativas foram feitas para provar o quinto postulado com base nos outros quatro, mas nunca tiveram sucesso. Eventualmente, em 1829, o matemático Nikolai Lobachevsky publicou uma descrição da geometria aguda (ou geometria hiperbólica), uma geometria que assumia uma forma diferente do postulado das paralelas. É de fato possível criar uma geometria válida sem o quinto postulado inteiramente, ou com diferentes versões do quinto postulado (geometria elíptica). Se alguém toma o quinto postulado como dado, o resultado é a geometria euclidiana.^[121]

Axiomática

O raciocínio axiomático dos Elementos de Euclides foi por muito tempo considerado o padrão de rigor matemático,^[122] mas as questões da solidez e completude dos axiomas de Euclides vieram à tona no final do século XIX, quando lacunas foram encontradas em seu raciocínio^[123] e quando David Hilbert começou a buscar "reviver o ponto de vista axiomático de Euclides", para desenvolver sistemas de axiomas melhorados através dos quais todas as questões matemáticas e físicas pudessem ser respondidas por cálculos simples.^[118] As esperanças de Hilbert foram frustradas na crise dos fundamentos do início do século XX, na qual Kurt Gödel e outros descobriram que qualquer sistema de axiomas sólido para a teoria dos conjuntos deve necessariamente ser incompleto.^[124] No século XXI, um novo padrão de rigor surgiu, as provas assistidas por computador, e as proposições dos Elementos (com algumas atualizações em suas provas) resistiram à verificação por computador.^[119][125]

Algumas das provas fundamentais dos Elementos usam suposições que Euclides não declarou explicitamente como axiomas. Por exemplo, na primeira construção do Livro 1, de um triângulo equilátero, Euclides usou uma premissa que não foi postulada nem provada: que dois círculos compartilhando o mesmo segmento de reta como raio se cruzarão em dois pontos, em vez de, de alguma forma, não se cruzarem.^[126][127] Este exemplo depende apenas de propriedades topológicas de seu diagrama, que permanecem evidentes mesmo se o diagrama for desenhado de forma imprecisa.^[128] No entanto, em outros casos, Euclides não provou que certos objetos eram distintos ou separados uns dos outros, e a possibilidade de que pudessem coincidir (um tipo de degenerescência) poderia não ser evidente a partir de um único diagrama. Um exemplo ocorre na bissecção de um ângulo por Euclides, construindo um triângulo isósceles no ângulo dado e um triângulo equilátero com a mesma base, e conectando por uma linha os ápices dos dois triângulos. Isso falha quando o ângulo inicial é 60° e os dois ápices coincidem.^[125]

Editores posteriores dos Elementos incluíram essas suposições axiomáticas implícitas, como o axioma de Pasch,^[129][130] nas listas de axiomas formais de suas edições.^[131] As primeiras tentativas de construir um conjunto mais completo de axiomas incluem os axiomas da geometria de Hilbert^[132][133] e os de Tarski.^[129][134] Em 2017, Michael Beeson et al. usaram assistentes de prova computacionais para criar e verificar um conjunto de axiomas semelhante ao de Euclides. Beeson et al. escolheram o sistema de Tarski como ponto de partida, em vez do de Hilbert, porque está mais próximo do de Euclides e usa apenas pontos como variáveis em suas fórmulas. Eles forneceram provas verificadas por computador de todas as proposições do Livro I, usando esses axiomas, e também provaram (usando uma formalização lógica separada dos números reais) que todos os seus axiomas são válidos para os pontos do sistema de coordenadas cartesianas.^[125]