Referências de conteúdo e períodos de desenvolvimento

Com o despertar de todos esses pioneiros, Bernoulli produziu muitos resultados contidos em Ars Conjectandi entre 1684 e 1689 e os registrou em seu diário Meditationes.^[1][6] Quando começou o seu trabalho em 1684, aos 30 anos, apesar de estar intrigado por problemas de combinatória e de probabilidade, Bernoulli ainda não tinha lido nem o trabalho de Pascal sobre o "triângulo aritmético", nem sobre o trabalho de Witt acerca das aplicações da teoria das probabilidades. Bernoulli pediu uma cópia desses trabalhos para seu conhecido Gottfried Leibniz, que falhou em obter uma cópia do trabalho de Witt,^[11] mas pôde fornecer a obra de Pascal e Huygens. Dessa forma, Bernoulli construiu Ars Conjectandi sobre fundamentos de Pascal e Huygens.^[12] Além desses, Bernoulli certamente detinha ou tinha os conhecimentos do conteúdo a partir de fontes secundárias dos trabalhos La Logique ou l’Art de Penser e Bills of Mortality, uma vez que ele faz referências explícitas às obras.^[13]

O progresso através do tempo de Bernoulli pode ser acompanhado por intermédio de Meditationes. Três períodos podem ser divididos de acordo com o trabalho do autor. O primeiro período, de 1684 a 1685, é devotado ao estudo de problemas de jogos de chance levantados por Christiaan Huygens; no segundo, de 1685 a 1686, suas investigações passam a abrangir processos em que as probabilidades não são conhecidas em um primeiro momento, mas precisam ser determinadas em um momento depois; e, finalmente, no último período, de 1687 a 1689, o problema de mensuração das probabilidades é resolvido.^[7]

Desde o início, Bernoulli desejava que seu trabalho demonstrasse que a combinatória e a teoria da probabilidade teriam inúmeras aplicações práticas em todas as facetas da sociedade — dando continuidade, assim, aos trabalhos de Graunt e de Witt — e serviriam como um método rigoroso de raciocínio lógico em situações com evidências insuficientes, como em tribunais e em julgamentos morais. Bernoulli também esperava que a teoria de probabilidade poderia prover maior compreensão e consistência a métodos de raciocínio, principalmente para situações complexas.^[11]

Outras publicações de Bernoulli sobre probabilidade

Antes da publicação de Ars Conjectandi, Bernoulli produziu diversos outros tratados relacionados com a probabilidade:^[14]

• Parallelismus ratiocinii logici et algebraici, Basel, 1685.
• Na página 314 de Journal des Sçavans 1685 (26.VIII), aparecem dois problemas sobre a probabilidade de dois jogadores ganharem um jogo de dados. Soluções foram publicadas no artigo Quaestiones nonnullae de usuris, cum solutione Problematis de Sorte Alearum nas páginas 219 a 223 de Acta Eruditorum 1690 (Maio). Além disso, Leibniz publicou uma solução no mesmo jornal nas páginas 387 a 390.
• As teses XXXI e XL de Theses logicae de conversione et oppositione enunciationum, uma palestra pública realizada em Basel no dia 12 de fevereiro de 1686, são relacionadas com a teoria das probabilidades.
• De Arte Combinatoria Oratio Inauguralis, 1692.
• Uma carta à un amy sur les parties du jeu de paume, isto é, uma carta a um amigo sobre sets de uma partida de tênis, publicada em 1713 junto com Ars Conjectandi.

Escolha do título

Além disso, o título Ars Conjectandi foi escolhido, pois referenciaria o conceito de ars inveniendi, destacado em Mathesis universalis por Leibniz, da escolástica, que providenciaria uma ligação simbólica ao pragmatismo que desejava, além de se tornar uma extensão de Ars Cogitandi.^[7]

Para Bernoulli, a "arte da conjectura" é definida no Capítulo II da Parte IV de sua obra Ars Conjectandi:

A arte de mensurar, o mais preciso possível, a probabilidades das coisas, com o objetivo de ser sempre possível escolher ou seguir nossos próprios julgamentos e ações, qual possibilidade foi determinada como a melhor, mais satisfatória, mais segura ou mais aventureira.

Publicação post mortem

Entre 1703 e 1705, Leibniz trocou correspondências com Jakob após tomar ciência de suas descobertas na área de probabilidade através do irmão de Jakob, Johann Bernoulli.^[11] Dessa forma, Leibniz ofereceu críticas construtivas sobre a lei dos grandes números de Bernoulli.^[11]

Apesar que a maior parte do conteúdo apresentado em Ars Conjectandi estivesse presente já em 1960, Bernoulli continuou trabalhando na obra.^[15] Contudo, o desenvolvimento do livro foi interrompido com a morte de Bernoulli em 1705. Dessa forma, o livro está essencialmente incompleto se comparado à visão original do autor. Jakob, porém, tinha uma desavença com seu irmão mais novo Johann — considerada a pessoa mais competente a levar adiante o projeto de Jakob —, o que impediu Johann de ter acesso ao manuscrito. Os próprios filhos de Jakob não eram matemáticos e não poderiam editar e publicar o manuscrito, além disso, sua família, compreendendo a importância da obra, tinham receio de alguém roubar o trabalho de Jakob.^[15] Apenas o sobrinho de Jacob, Nicolaus, conseguiu publicar o manuscrito em 1713, 7 anos após a morte do autor.^[16][17]

Primeira seção

A primeira parte é uma exposição densa do trabalho De ratiociniis in aleae ludo de Huygens. Nessa seção, há uma reimpressão do tratado de Huygens, publicado em 1757, com comentários de Bernoulli,^[21] que também oferece a solução de cinco problemas que Huygens levantou no final de seu trabalho.^[12] Em particular, Bernoulli desenvolveu o conceito de valor esperado de Huygens, isto é, a média de todos os possíveis resultados. Huygens tinha desenvolvido a fórmula:

${\displaystyle E={\frac {p_{0}a_{0}+p_{1}a_{1}+p_{2}a_{2}+\cdots +p_{n}a_{n}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{n}}}.}$^[22]

Nessa fórmula, E representa o valor esperado, p_i são as probabilidades de cada valor, e a_i são os valores possíveis. Bernoulli normaliza o valor esperado ao assumir que p_i são as probabilidades de todos os possíveis resultados disjuntos dos valores, implicando, portanto, que p₀ + p₁ + ... + p_n = 1. Outra teoria fundamental desenvolvida nessa primeira seção é que a probabilidade de alcançar pelos menos um determinado número de sucessos a partir de uma série de eventos binários, hodiernamente chamados de ensaio de Bernoulli,^[23] dado que a probabilidade de sucesso em cada evento seja a mesma. Bernoulli mostra, através de indução matemática, que dado a, o número de resultados favoráveis em cada evento, b, o número total de possibilidades de resultado em cada evento, d, o número desejado de sucessos, e e, o número de eventos, a probabilidade de pelo menos d sucessos é:

${\displaystyle P=\sum _{i=0}^{e-d}{\binom {e}{d+i}}\left({\frac {a}{b}}\right)^{d+i}\left({\frac {b-a}{b}}\right)^{e-d-i}.}$^[24]

A primeira parte conclui com o que é atualmente denominado distribuição de Bernoulli.^[18]

Segunda seção

A segunda parte expande sobre a combinatória enumerativa, as permutações^[25] e a numeração sistemática de objetos. Nessa seção, duas das mais importantes "twelvefold ways", as permutações e as combinações, que formariam a base do assunto, foram detalhadas embora já tivessem sido introduzidas anteriormente para fins de teoria da probabilidade. Bernoulli também ofereceu a primeira prova sem utilizar indução da expansão binominal para expoentes inteiros utilizando argumentos combinatórios.^[18][26]

Um pouco mais distante da combinatória, a segunda seção também discute a fórmula geral para somas de potências inteiras. Os coeficientes livres dessa fórmula são chamados, portanto, de números de Bernoulli, que posteriormente influenciaram o trabalho de Abraham de Moivre^[18] e que demonstraram ter inúmeras aplicações na teoria dos números.^[26]

Terceira seção

Na terceira parte da obra, Bernoulli aplica técnicas de probabilidades da primeira seção em jogos de chance de cartas e de dados.^[12] O autor não sente a necessidade de descrever as regras e os objetivos dos jogos de cartas que ele analisa; ele apresenta a problemas de probabilidade relacionados a tais jogos e, uma vez que um método foi estabelecido, busca uma generalização. À título de exemplo, um problema envolvendo o número esperado de valetes, damas e reis — ou "cartas da corte" —, em que uma carta seria escolhida aleatoriamente de uma mão com cinco cartas de um baralho normal com 52 cartas, com 12 cartas da corte, poderia ser generalizado para um baralho com a cartas que contém b cartas da corte e uma mão com c cartas.^[27]

Quarta seção

A quarta e última seção continua a expor aplicações práticas ao discutir as aplicações para decisões individuais, judiciais e financeiras — civilibus, moralibus e oeconomicis. Nessa seção, Bernoulli difere da tendência da probabilidade de frequência, que define probabilidade no senso empírico.^[28] Como contra-argumento, ele produziu um resultado semelhante a lei dos grandes números, em que descreveu como a previsão de que os resultados da observação se aproximariam da probabilidade teórica à medida que mais tentativas fossem realizadas; na realidade, os frequentadores definiam a probabilidade em termos da primeira.^[16] Bernoulli ficou satisfeito e orgulhoso de seu resultado, referindo-se a ele como seu "teorema de ouro",^[29] e destaca que era "um problema no qual eu me comprometi por vinte anos".^[30] A versão antiga da lei dos grandes números é conhecida hoje como o "Teorema de Bernoulli", "Lei dos Grande Números de Bernoulli"^[31][32] ou como a "Lei Fraca dos Grandes Números", uma vez que é menos rigorosa e menos geral do que a versão moderna.^[33]

Apêndice

Após as quatro seções, quase como uma reflexão posterior, Bernoulli adiciona um apêndice a Ars Conjectandi referente ao cálculo infinitesimal, em especial, às séries infinitas.^[18] Essa parte foi uma reimpressão de cinco dissertações que publicou entre 1686 e 1704.^[24]

Reconhecimento

Ars Conjectandi é considerado um marco na área de combinatória e um trabalho fundamental na probabilidade matemática.^[34][35][36] Entre outros trabalhos, uma antologia de escrituras matemáticas publicada por Elsevier e editada pelo historiador Ivor Grattan-Guinness descreve o trabalho de Bernoulli como algo que "[ocupou] os matemáticos pelos séculos XVIII e XIX", influenciando profundamente a matemática nesses séculos.^[37] O estatístico A. W. F. Edwards destaca não somente o conteúdo inovador da obra, escrevendo que é claro a "familiaridade [de Bernoulli]] com as várias facetas" da combinatória, mas também sua boa forma "[Ars Conjectandi] é um livro bem escrito, construído de forma excelenete."^[38] Mais recentemente, o historiador da matemática William Dunham atribui à obra o título de "o próximo milestone na teoria das probabilidades [depois do trabalho de Cardano]" e de "obra-prima de Jakob Bernoulli".^[1] Esses reconhecimentos contribuíram profundamente para o que Dunham descreve como "a reputação já consolidada de Bernoulli".^[39]

Impacto e inspiração

O trabalho de Bernoulli, um dos primeiros estudos formais de probabilidade,^[40] influenciou diversos matemáticos contemporâneos e subsequentes e fomentou discussões sobre diversos frutos de suas descobertas,^[41] inclusive seu apêndice sobre cálculo foi referenciado frequentemente por matemáticos como o escocês Colin Maclaurin.^[18] Além disso, também influenciou seu sobrinho, Nicolau I Bernoulli, uma vez que, como seus estudos para aplicar a arte da conjectura em esferas práticas da vida foram interrompidos com sua morte em 1705, Nicolau retirou partes textuais de Ars Conjectandi para a sua dissertação De Usu Artis Conjectandi in Jure publicada em 1709.^[7] Nicolau finalmente editou e auxiliou na publicação de Ars Conjectandi em 1713. Depois, Nicolau também editou outros trabalhos completos de Jakob, além de reconciliar resultados e estudos escritos no diário do tio.^[42]

Pierre Rémond de Montmort, em colaboração com Nicolau Bernoulli, escreveu o livro de probabilidade Essay d'analyse sur les jeux de hazard, publicado em 1708 e que pode ser compreendido como uma extensão da terceira seção de Ars Conjectandi, que aborda combinatória e probabilidade aplicada para analisar jogos de azar comumente realizados na época.^[42] Abraham de Moivre também escreveu extensivamente sobre o assunto em De mensura sortis: Seu de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus, de 1711, e sua extensão The Doctrine of Chances publicado em 1718.^[43] A conquista mais notável de Moivre foi a descoberta da primeira instância do teorema central do limite, pelo qual ele foi capaz de aproximar a distribuição binomial com a distribuição normal.^[18] Para tanto, de Moivre desenvolveu uma sequência assintótica para a função fatorial — agora referida como fórmula de Stirling, ou aproximação de Stirling — e a fórmula de Bernoulli para a soma das potências de números.^[18] Ambos Montmort e de Moivre adotaram o temo "probabilidade" de Jakob Bernoulli, o qual não era usado em publicações anteriores sobre apostas, e os dois trabalhos se tornaram extremamente populares.^[6]

A Lei dos Grandes Números de Bernoulli tem uma notável importância história.^[31][32] O refinamento do Teorema de Ouro de Bernoull, em relação à convergência da probabilidade teórica e da probabilidade empírica, foi desenvolvida por diversos matemáticos como posteriores, incluindo de Moivre, Laplace, Poisson, Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli, Kolmogorov e Khinchin. Por outro lado, a completa prova da lei dos grandes números para um número arbitrário de variáveis aleatórias foi finalmente provada durante a primeira metade do século XX.^[44]

Uma influência indireta foi Thomas Simpson, cujo resultado alcançado foi semelhante a de Moivre. De acordo com o prefácio do trabalho de Simpson, seu próprio trabalho era muito dependente de Moivre, inclusive descreve seu trabalho como uma versão resumida do de Moivre.^[45] Em seguida, Thomas Bayes escreveu um artigo discutindo implicações teológicas dos resultados de Moivre: sua solução a um problema, isto é, o determinar a probabilidade de um evento pela sua frequência relativa, foi tomada por Bayes como prova da existência de Deus.^[46] Finalmente, em 1812, Pierre-Simon de Laplace publicou Théorie analytique des probabilités com o qual ele consolidou diversos resultados fundamentais para a probabilidade e para a estatística, tais quais a função geradora, método dos menores quadrados, probabilidade indutiva e teste de hipótese, além de completar a fase final do desenvolvimento da probabilidade clássica.^[47]

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