Matriz vezes matriz

Se A é uma matriz m × n e B é uma matriz n × p, $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1p}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{np}\\\end{pmatrix}}}$$ o produto matricial C = AB (denotado sem sinais de multiplicação ou pontos) é definido como a matriz m × p^[5][6][7][8] $${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1p}\\c_{21}&c_{22}&\cdots &c_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{m1}&c_{m2}&\cdots &c_{mp}\\\end{pmatrix}}}$$ tal que $${\displaystyle c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj},}$$ para i = 1, ..., m e j = 1, ..., p.

Isto é, a entrada ⁠${\displaystyle c_{ij}}$⁠ do produto é obtida multiplicando termo a termo as entradas da i-ésima linha de A e da j-ésima coluna de B, e somando esses n produtos. Em outras palavras, ⁠${\displaystyle c_{ij}}$⁠ é o produto escalar da i-ésima linha de A e da j-ésima coluna de B.

Portanto, AB também pode ser escrito como $${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}a_{11}b_{11}+\cdots +a_{1n}b_{n1}&a_{11}b_{12}+\cdots +a_{1n}b_{n2}&\cdots &a_{11}b_{1p}+\cdots +a_{1n}b_{np}\\a_{21}b_{11}+\cdots +a_{2n}b_{n1}&a_{21}b_{12}+\cdots +a_{2n}b_{n2}&\cdots &a_{21}b_{1p}+\cdots +a_{2n}b_{np}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{11}+\cdots +a_{mn}b_{n1}&a_{m1}b_{12}+\cdots +a_{mn}b_{n2}&\cdots &a_{m1}b_{1p}+\cdots +a_{mn}b_{np}\\\end{pmatrix}}}$$

Assim, o produto AB é definido se e somente se o número de colunas em A for igual ao número de linhas em B,^[1] neste caso n.

Na maioria dos cenários, as entradas são números, mas podem ser qualquer tipo de objetos matemáticos para os quais uma adição e uma multiplicação são definidas, que são associativas, e tais que a adição é comutativa, e a multiplicação é distributiva em relação à adição. Em particular, as entradas podem ser próprias matrizes (ver matriz bloco).

Matriz vezes vetor

Um vetor ${\displaystyle \mathbf {x} }$ de comprimento ${\displaystyle n}$ pode ser visto como um vetor coluna, correspondendo a uma matriz ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ cujas entradas são dadas por ${\displaystyle \mathbf {X} _{i1}=\mathbf {x} _{i}.}$ Se ${\displaystyle \mathbf {A} }$ é uma matriz ${\displaystyle m\times n}$, o produto matriz-vetor denotado por ${\displaystyle \mathbf {Ax} }$ é então o vetor ${\displaystyle \mathbf {y} }$ que, visto como um vetor coluna, é igual à matriz ${\displaystyle m\times 1}$ ${\displaystyle \mathbf {AX} .}$ Em notação de índices, isso equivale a:

${\displaystyle y_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}.}$

Uma maneira de ver isso é que as mudanças de vetor "simples" para vetor coluna e vice-versa são assumidas e deixadas implícitas.

Vetor vezes matriz

Similarmente, um vetor ${\displaystyle \mathbf {x} }$ de comprimento ${\displaystyle n}$ pode ser visto como um vetor linha, correspondendo a uma matriz ${\displaystyle 1\times n}$. Para deixar claro que um vetor linha é pretendido, é costume neste contexto representá-lo como a transposta de um vetor coluna; assim, ver-se-ão notações como ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} .}$ A identidade ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} =(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {x} )^{\mathrm {T} }}$ é válida. Em notação de índices, se ${\displaystyle \mathbf {A} }$ é uma matriz ${\displaystyle n\times p}$, ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} =\mathbf {y} ^{\mathrm {T} }}$ equivale a: ${\displaystyle y_{k}=\sum _{j=1}^{n}x_{j}a_{jk}.}$

Vetor vezes vetor

Um vetor com n componentes pode ser representado como uma matriz 1 × n (um vetor linha) ou como uma matriz n × 1 (um vetor coluna). Supondo que ${\displaystyle \mathbf {a} }$ e ${\displaystyle \mathbf {b} }$ são ambos vetores coluna, o produto escalar (ou produto interno) ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$ é igual à única entrada da matriz ${\displaystyle 1\times 1}$ resultante da multiplicação matricial do vetor linha ${\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }}$ com o vetor coluna ${\displaystyle \mathbf {b} }$, i.e. ${\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} }$.

A multiplicação matricial entre o vetor coluna ${\displaystyle \mathbf {a} }$ e o vetor linha ${\displaystyle \mathbf {b} ^{\mathrm {T} }}$, também conhecida como produto externo ${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathrm {T} }}$, dará, em vez disso, uma matriz n × n.

Ilustração

A figura à direita ilustra diagramaticamente o produto de duas matrizes A e B, mostrando como cada interseção na matriz produto corresponde a uma linha de A e uma coluna de B. $${\displaystyle {\overset {4\times 2{\text{ matriz}}}{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\\cdot &\cdot \\a_{31}&a_{32}\\\cdot &\cdot \\\end{bmatrix}}}{\overset {2\times 3{\text{ matriz}}}{\begin{bmatrix}\cdot &b_{12}&b_{13}\\\cdot &b_{22}&b_{23}\\\end{bmatrix}}}={\overset {4\times 3{\text{ matriz}}}{\begin{bmatrix}\cdot &c_{12}&\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &c_{33}\\\cdot &\cdot &\cdot \\\end{bmatrix}}}}$$

Os valores nas interseções, marcados com círculos na figura à direita, são: $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{12}&=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}\\c_{33}&=a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}.\end{aligned}}}$$

Aplicações lineares

Se um espaço vetorial tem uma base finita, seus vetores são cada um representados de forma única por uma sequência finita de escalares, chamada de vetor de coordenadas, cujos elementos são as coordenadas do vetor na base. Esses vetores de coordenadas formam outro espaço vetorial, que é isomorfo ao espaço vetorial original. Um vetor de coordenadas é comumente organizado como uma matriz coluna (também chamada de vetor coluna), que é uma matriz com apenas uma coluna. Assim, um vetor coluna representa tanto um vetor de coordenadas quanto um vetor do espaço vetorial original.

Uma aplicação linear A de um espaço vetorial de dimensão n para um espaço vetorial de dimensão m aplica um vetor coluna

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$

no vetor coluna

${\displaystyle \mathbf {y} =A(\mathbf {x} )={\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}+\cdots +a_{2n}x_{n}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}}.}$

A aplicação linear A é, portanto, definida pela matriz

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},}$

e aplica o vetor coluna ${\displaystyle \mathbf {x} }$ no produto matricial

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {Ax} .}$

Se B é outra aplicação linear do espaço vetorial precedente de dimensão m para um espaço vetorial de dimensão p, ela é representada por uma matriz ⁠${\displaystyle p\times m}$⁠ ${\displaystyle \mathbf {B} .}$ Um cálculo direto mostra que a matriz da aplicação composta ⁠${\displaystyle B\circ A}$⁠ é o produto matricial ${\displaystyle \mathbf {BA} .}$ A fórmula geral ⁠${\displaystyle (B\circ A)(\mathbf {x} )=B(A(\mathbf {x} ))}$⁠) que define a composição de funções é instanciada aqui como um caso específico da associatividade do produto matricial (ver § Associatividade abaixo):

${\displaystyle (\mathbf {BA} )\mathbf {x} =\mathbf {B} (\mathbf {Ax} )=\mathbf {BAx} .}$

Alocação de recursos em economia

Como exemplo, uma fábrica fictícia usa 4 tipos de bens básicos, ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}}$ para produzir 3 tipos de bens intermediários, ${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$, que por sua vez são usados para produzir 3 tipos de produtos finais, ${\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3}}$. As matrizes

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&1\\0&1&1\\1&1&2\\\end{pmatrix}}}$   e   ${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}1&2&1\\2&3&1\\4&2&2\\\end{pmatrix}}}$

fornecem a quantidade de bens básicos necessários para uma dada quantidade de bens intermediários, e a quantidade de bens intermediários necessários para uma dada quantidade de produtos finais, respectivamente. Por exemplo, para produzir uma unidade do bem intermediário ${\displaystyle m_{1}}$, uma unidade do bem básico ${\displaystyle b_{1}}$, duas unidades de ${\displaystyle b_{2}}$, nenhuma unidade de ${\displaystyle b_{3}}$ e uma unidade de ${\displaystyle b_{4}}$ são necessárias, correspondendo à primeira coluna de ${\displaystyle \mathbf {A} }$.

Usando a multiplicação de matrizes, calcula-se

${\displaystyle \mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}5&4&3\\8&9&5\\\ 6&5&3\\11&9&6\\\end{pmatrix}};}$

esta matriz fornece diretamente as quantidades de bens básicos necessários para determinadas quantidades de bens finais. Por exemplo, a entrada inferior esquerda de ${\displaystyle \mathbf {AB} }$ é calculada como ${\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 2+2\cdot 4=11}$, refletindo que ${\displaystyle 11}$ unidades de ${\displaystyle b_{4}}$ são necessárias para produzir uma unidade de ${\displaystyle f_{1}}$. De fato, uma unidade de ${\displaystyle b_{4}}$ é necessária para ${\displaystyle m_{1}}$, uma para cada uma das duas ${\displaystyle m_{2}}$, e ${\displaystyle 2}$ para cada uma das quatro unidades de ${\displaystyle m_{3}}$ que entram na unidade de ${\displaystyle f_{1}}$, veja a figura.

Para produzir, por exemplo, 100 unidades do produto final ${\displaystyle f_{1}}$, 80 unidades de ${\displaystyle f_{2}}$ e 60 unidades de ${\displaystyle f_{3}}$, as quantidades necessárias de bens básicos podem ser calculadas como

${\displaystyle (\mathbf {AB} ){\begin{pmatrix}100\\80\\60\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1000\\1820\\1180\\2180\end{pmatrix}},}$

isto é, ${\displaystyle 1000}$ unidades de ${\displaystyle b_{1}}$, ${\displaystyle 1820}$ unidades de ${\displaystyle b_{2}}$, ${\displaystyle 1180}$ unidades de ${\displaystyle b_{3}}$, ${\displaystyle 2180}$ unidades de ${\displaystyle b_{4}}$ são necessárias. Da mesma forma, a matriz produto ${\displaystyle \mathbf {AB} }$ pode ser usada para calcular as quantidades necessárias de bens básicos para outros dados de quantidade de produtos finais.^[9]

Sistema de equações lineares

A forma geral de um sistema de equações lineares é

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1},\\a_{21}x_{1}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2},\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}.\end{matrix}}}$

Usando a mesma notação acima, tal sistema é equivalente à única equação matricial

${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} .}$

Produto escalar, forma bilinear e forma sesquilinear

O produto escalar de dois vetores coluna é a única entrada do produto matricial

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} ,}$

onde ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}}$ é o vetor linha obtido por transpondo ${\displaystyle \mathbf {x} }$. (Como de costume, uma matriz 1×1 é identificada com sua única entrada.)

Mais geralmente, qualquer forma bilinear sobre um espaço vetorial de dimensão finita pode ser expressa como um produto matricial

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {Ay} ,}$

e qualquer forma sesquilinear pode ser expressa como

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\dagger }\mathbf {Ay} ,}$

onde ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\dagger }}$ denota a transposta conjugada de ${\displaystyle \mathbf {x} }$ (conjugado da transposta, ou equivalentemente transposta do conjugado).

Não comutatividade

Uma operação é comutativa se, dados dois elementos A e B tais que o produto ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} }$ é definido, então ${\displaystyle \mathbf {B} \mathbf {A} }$ também é definido, e ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {B} \mathbf {A} .}$

Se A e B são matrizes de tamanhos respectivos ⁠${\displaystyle m\times n}$⁠ e ⁠${\displaystyle p\times q}$⁠, então ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} }$ é definido se ⁠${\displaystyle n=p}$⁠, e ${\displaystyle \mathbf {B} \mathbf {A} }$ é definido se ⁠${\displaystyle m=q}$⁠. Portanto, se um dos produtos é definido, o outro não precisa ser definido. Se ⁠${\displaystyle m=q\neq n=p}$⁠, os dois produtos são definidos, mas têm tamanhos diferentes; portanto, não podem ser iguais. Somente se ⁠${\displaystyle m=q=n=p}$⁠, isto é, se A e B são matrizes quadradas do mesmo tamanho, ambos os produtos são definidos e do mesmo tamanho. Mesmo neste caso, tem-se em geral

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} \neq \mathbf {B} \mathbf {A} .}$

Por exemplo

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},}$

mas

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Este exemplo pode ser expandido para mostrar que, se A é uma matriz ⁠${\displaystyle n\times n}$⁠ com entradas em um corpo F, então ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =\mathbf {B} \mathbf {A} }$ para toda matriz ⁠${\displaystyle n\times n}$⁠ B com entradas em F, se e somente se ${\displaystyle \mathbf {A} =c\,\mathbf {I} }$ onde ⁠${\displaystyle c\in F}$⁠, e I é a ⁠${\displaystyle n\times n}$⁠ matriz identidade. Se, em vez de um corpo, as entradas devem pertencer a um anel, então deve-se adicionar a condição de que c pertence ao centro do anel.

Um caso especial onde a comutatividade ocorre é quando D e E são duas matrizes diagonais (do mesmo tamanho); então DE = ED.^[10] Novamente, se as matrizes são sobre um anel geral em vez de um corpo, as entradas correspondentes em cada uma também devem comutar entre si para que isso seja válido.

Distributividade

O produto matricial é distributivo em relação à adição de matrizes. Isto é, se A, B, C, D são matrizes de tamanhos respectivos m × n, n × p, n × p e p × q, respectivamente, tem-se (distributividade à esquerda)

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {AB} +\mathbf {AC} ,}$

e (distributividade à direita)

${\displaystyle (\mathbf {B} +\mathbf {C} )\mathbf {D} =\mathbf {BD} +\mathbf {CD} .}$^[10]

Isso resulta da distributividade para coeficientes por

${\displaystyle \sum _{k}a_{ik}(b_{kj}+c_{kj})=\sum _{k}a_{ik}b_{kj}+\sum _{k}a_{ik}c_{kj}}$

${\displaystyle \sum _{k}(b_{ik}+c_{ik})d_{kj}=\sum _{k}b_{ik}d_{kj}+\sum _{k}c_{ik}d_{kj}.}$

Produto com um escalar

Se A é uma matriz e c um escalar, então as matrizes ${\displaystyle c\mathbf {A} }$ e ${\displaystyle \mathbf {A} c}$ são obtidas multiplicando à esquerda ou à direita todas as entradas de A por c. Se os escalares têm a propriedade comutativa, então ${\displaystyle c\mathbf {A} =\mathbf {A} c.}$

Se o produto ${\displaystyle \mathbf {AB} }$ é definido (isto é, o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B), então

${\displaystyle c(\mathbf {AB} )=(c\mathbf {A} )\mathbf {B} }$ e ${\displaystyle (\mathbf {A} \mathbf {B} )c=\mathbf {A} (\mathbf {B} c).}$

Se os escalares têm a propriedade comutativa, então todas as quatro matrizes são iguais. Mais geralmente, todas as quatro são iguais se c pertence ao centro de um anel contendo as entradas das matrizes, porque neste caso, cX = Xc para todas as matrizes X.

Essas propriedades resultam da bilinearidade do produto de escalares:

${\displaystyle c\left(\sum _{k}a_{ik}b_{kj}\right)=\sum _{k}(ca_{ik})b_{kj}}$

${\displaystyle \left(\sum _{k}a_{ik}b_{kj}\right)c=\sum _{k}a_{ik}(b_{kj}c).}$

Transposição

Se os escalares têm a propriedade comutativa, a transposta de um produto de matrizes é o produto, na ordem inversa, das transpostas dos fatores. Isto é

${\displaystyle (\mathbf {AB} )^{\mathsf {T}}=\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}}$

onde ^T denota a transposta, isto é, a troca de linhas e colunas.

Esta identidade não é válida para entradas não comutativas, pois a ordem entre as entradas de A e B é invertida, quando se expande a definição do produto matricial.

Conjugado complexo

Se A e B têm entradas complexas, então

${\displaystyle (\mathbf {AB} )^{*}=\mathbf {A} ^{*}\mathbf {B} ^{*}}$

onde ^* denota o conjugado complexo entrada a entrada de uma matriz.

Isso resulta da aplicação à definição de produto matricial do fato de que o conjugado de uma soma é a soma dos conjugados das parcelas e o conjugado de um produto é o produto dos conjugados dos fatores.

A transposição atua sobre os índices das entradas, enquanto a conjugação atua independentemente sobre as próprias entradas. Resulta que, se A e B têm entradas complexas, tem-se

${\displaystyle (\mathbf {AB} )^{\dagger }=\mathbf {B} ^{\dagger }\mathbf {A} ^{\dagger },}$

onde ^† denota a transposta conjugada (conjugado da transposta, ou equivalentemente transposta do conjugado).

Associatividade

Dadas três matrizes A, B e C, os produtos (AB)C e A(BC) são definidos se e somente se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B, e o número de colunas de B for igual ao número de linhas de C (em particular, se um dos produtos é definido, então o outro também é definido). Neste caso, tem-se a propriedade associativa

${\displaystyle (\mathbf {AB} )\mathbf {C} =\mathbf {A} (\mathbf {BC} ).}$

Como para qualquer operação associativa, isso permite omitir parênteses e escrever os produtos acima como ⁠${\displaystyle \mathbf {ABC} .}$⁠

Isso se estende naturalmente ao produto de qualquer número de matrizes, desde que as dimensões coincidam. Isto é, se A₁, A₂, ..., A_n são matrizes tais que o número de colunas de A_i é igual ao número de linhas de A_{i + 1} para i = 1, ..., n – 1, então o produto

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}\mathbf {A} _{i}=\mathbf {A} _{1}\mathbf {A} _{2}\cdots \mathbf {A} _{n}}$

é definido e não depende da ordem das multiplicações, se a ordem das matrizes for mantida fixa.

Essas propriedades podem ser provadas por manipulações de somatório diretas, embora complicadas. Este resultado também segue do fato de que as matrizes representam aplicações lineares. Portanto, a propriedade associativa das matrizes é simplesmente um caso específico da propriedade associativa da composição de funções.

Potências de uma matriz

Pode-se elevar uma matriz quadrada a qualquer potência inteira não negativa multiplicando-a por si mesma repetidamente da mesma forma que para números ordinários. Isto é,

${\displaystyle \mathbf {A} ^{0}=\mathbf {I} ,}$

${\displaystyle \mathbf {A} ^{1}=\mathbf {A} ,}$

${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}=\underbrace {\mathbf {A} \mathbf {A} \cdots \mathbf {A} } _{k{\text{ vezes}}}.}$

Calcular a k-ésima potência de uma matriz precisa de k – 1 vezes o tempo de uma única multiplicação de matrizes, se for feito com o algoritmo trivial (multiplicação repetida). Como isso pode ser muito demorado, geralmente se prefere usar a exponenciação por quadratura, que requer menos de 2 log₂ k multiplicações de matrizes e é, portanto, muito mais eficiente.

Um caso fácil para a exponenciação é o de uma matriz diagonal. Como o produto de matrizes diagonais equivale simplesmente a multiplicar os elementos diagonais correspondentes entre si, a k-ésima potência de uma matriz diagonal é obtida elevando as entradas à potência k:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\0&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}^{k}={\begin{bmatrix}a_{11}^{k}&0&\cdots &0\\0&a_{22}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}^{k}\end{bmatrix}}.}$