Grótta

Orri veio da base do Grótta, no seu país natal. Ele fez sua estreia profissional com o clube em 18 de agosto de 2018, com 13 anos e 354 dias, quando entrou como substituto na partida contra o Höttur, marcando dois gols em uma vitória por 5–0, em partida válida pela terceira divisão da Islândia.^[1][2] No total, ele jogou três jogos e marcou três gols em sua primeira temporada, já que o clube foi promovido para a segunda divisão sob a gestão de seu pai.^[1][3] Ele jogou 12 jogos de 22 e marcou 1 gol na temporada seguinte na segunda divisão, já que o Grótta foi promovido novamente, desta vez para a primeira divisão.^[3][4]

Copenhague

Após a temporada de 2019, foi anunciado que Orri se juntaria ao Copenhague, da Dinamarca, na janela de verão de 2020.^[1][5] Ele fez sua estreia profissional pelo clube dinamarquês em 22 de maio de 2022, durante o último jogo daquela temporada — uma vitória em casa por 3–0 contra o Aalborg, poucos dias antes de assinar uma extensão de contrato com o clube, que se sagrou campeão dinamarquês.^[6][7]

Em 31 de janeiro de 2023, ele se juntou ao Sønderjyske, da segunda divisão dinamarquesa, por empréstimo pelo resto da temporada.^[8] Após seu retorno ao Copenhague, ele marcou um hat-trick na vitória por 6–3 sobre o Breiðablik, treinado por seu pai, na segunda rodada de qualificação da Liga dos Campeões de 2023–24.^[9]

Real Sociedad

Em 30 de agosto de 2024, Orri se transferiu à Real Sociedad, assinando um contrato até 2030 com o clube basco.^[10] Dois dias depois, estreou no empate com o Getafe fora de casa por 0–0.^[11][12] No dia 28 de setembro, marcou seu primeiro gol na vitória sobre o Valencia por 3–0, fazendo um doblete.^[13]