Nota: Para uma estrutura semelhante que não é necessariamente comutativa e pode ter divisores de zero, veja Anel de ideais principais.

Em matemática, um domínio de ideais principais, ou DIP (do inglês PID), é um domínio de integridade (isto é, um anel comutativo não nulo sem divisores de zero não nulos) no qual todo ideal é principal (isto é, é formado pelos múltiplos de um único elemento). Alguns autores, como Bourbaki, referem-se aos DIPs como anéis principais.

Os domínios de ideais principais são objetos matemáticos que se comportam como os inteiros, em relação à divisibilidade: qualquer elemento de um DIP tem uma fatoração única em elementos primos (portanto, vale um análogo do teorema fundamental da aritmética); quaisquer dois elementos de um DIP têm um máximo divisor comum (embora possa não ser possível encontrá-lo usando o algoritmo de Euclides). Se x e y são elementos de um DIP sem divisores comuns, então todo elemento do DIP pode ser escrito na forma ax + by, etc.

Os domínios de ideais principais são noetherianos, são integralmente fechados, são domínios de fatoração única e domínios de Dedekind. Todos os domínios euclidianos e todos os corpos são domínios de ideais principais.

Os domínios de ideais principais aparecem na seguinte cadeia de inclusões de classes:

Exemplos

Exemplos incluem:

• ${\displaystyle K}$: qualquer corpo,
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$: o anel dos inteiros,^[1]
• ${\displaystyle K[x]}$: anéis de polinômios em uma variável com coeficientes em um corpo. (A recíproca também é verdadeira, ou seja, se ${\displaystyle A[x]}$ é um DIP, então ${\displaystyle A}$ é um corpo.) Além disso, um anel de séries de potências formais em uma variável sobre um corpo é um DIP, uma vez que todo ideal é da forma ${\displaystyle (x^{k})}$,* ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$: o anel dos inteiros gaussianos,^[2]
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ (onde ${\displaystyle \omega }$ é uma raiz cúbica primitiva de 1): os inteiros de Eisenstein,
• Qualquer anel de valorização discreta, por exemplo, o anel dos inteiros p-ádicos ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.

Módulos

O resultado principal é o teorema de estrutura: Se R é um domínio de ideais principais e M é um R-módulo finitamente gerado, então ${\displaystyle M}$ é uma soma direta de módulos cíclicos, ou seja, módulos com um gerador. Os módulos cíclicos são isomórficos a ${\displaystyle R/xR}$ para algum ${\displaystyle x\in R}$^[4] (note que ${\displaystyle x}$ pode ser igual a ${\displaystyle 0}$, caso em que ${\displaystyle R/xR}$ é ${\displaystyle R}$).

Se M é um módulo livre sobre um domínio de ideais principais R, então todo submódulo de M é novamente livre.^[5] Isso não vale para módulos sobre anéis arbitrários, como mostra o exemplo ${\displaystyle (2,X)\subseteq \mathbb {Z} [X]}$ de módulos sobre ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$.

Propriedades

Em um domínio de ideais principais, quaisquer dois elementos a,b têm um máximo divisor comum, que pode ser obtido como um gerador do ideal (a, b).

Todos os domínios euclidianos são domínios de ideais principais, mas a recíproca não é verdadeira. Um exemplo de um domínio de ideais principais que não é um domínio euclidiano é o anel ${\displaystyle \mathbb {Z} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {-19}}~\!{\bigr )}{\bigr ]}}$,^[6][7] isso foi provado por Theodore Motzkin e foi o primeiro caso conhecido.^[8] Neste domínio não existem q e r, com 0 ≤ |r| < 4, tal que ${\displaystyle {\bigl (}1+{\sqrt {-19~\!}}{\bigr )}=(4)q+r}$, apesar de ${\displaystyle 1+{\sqrt {-19}}}$ e ${\displaystyle 4}$ terem um máximo divisor comum de 2.

Todo domínio de ideais principais é um domínio de fatoração única (DFU).^{[9][10][11][12]} A recíproca não é verdadeira, pois para qualquer DFU K, o anel K[X, Y] de polinômios em 2 variáveis é um DFU, mas não é um DIP. (Para provar isso, observe o ideal gerado por ${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle .}$ Não é o anel inteiro, pois não contém polinômios de grau 0, mas não pode ser gerado por nenhum elemento único.)

1. Todo domínio de ideais principais é noetheriano.
2. Em todos os anéis unitários, os ideais maximais são primos. Em domínios de ideais principais, vale uma quase recíproca: todo ideal primo não nulo é maximal.
3. Todos os domínios de ideais principais são integralmente fechados.

As três afirmações anteriores dão a definição de um domínio de Dedekind, e, portanto, todo domínio de ideais principais é um domínio de Dedekind.

Seja A um domínio de integridade, as seguintes afirmações são equivalentes.

1. A é um DIP.
2. Todo ideal primo de A é principal.^[13]
3. A é um domínio de Dedekind que é um DFU.
4. Todo ideal finitamente gerado de A é principal (isto é, A é um domínio de Bézout) e A satisfaz a condição de cadeia ascendente em ideais principais.
5. A admite uma norma de Dedekind-Hasse.^[14]

Qualquer norma euclidiana é uma norma de Dedekind-Hasse; assim, (5) mostra que um domínio euclidiano é um DIP. (4) compara-se a:

• Um domínio de integridade é um DFU se e somente se for um domínio MDC (isto é, um domínio onde quaisquer dois elementos têm um máximo divisor comum) satisfazendo a condição de cadeia ascendente em ideais principais.

Um domínio de integridade é um domínio de Bézout se e somente se quaisquer dois elementos nele tiverem um mdc que seja uma combinação linear dos dois. Um domínio de Bézout é, portanto, um domínio MDC, e (4) fornece mais uma prova de que um DIP é um DFU.

Referências

Ligações externas

• Anel principal no MathWorld